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基本 例題 29
不等式の証明 (絶対値と不等式)
00000
次の不等式を証明せよ。
(1)|a+bl≦|a|+161
(2) |a|-|6|≦la-61
p.42 基本事項 4. 基本 28
1章
CHART & THINKING
似た問題
結果を使う
4
② 方法をまねる
絶対値を含むので,このままでは差をとって考えにくい。 AA を利用すると, 絶
対値の処理が容易になる。 よって, 平方の差を作ればよい。
(2)証明したい不等式の左辺は負の場合もあるから, 平方の差を作る方針は手間がかかり
そうである(別解 参照)。 そこで, 不等式を変形すると
|a|≦la-61+16 (1) と似た形になることに着目。
①の方針で考えられそうだが, どのように文字をおき換えると (1) を利用できるだろうか?
解答
(1) (|a|+|6|-|a+6=(a+2|a||6|+16)-(a+b)2
A≧0 のとき
|-|A|≦A=|A|
等式・不等式の証明
=α²+2|ab|+b2-(a²+2ab+62)
=2(abl-ab)≧0 ...... (*)
A <0 のとき
-|A|=A<|A|
la+b=(a+16)2
であるから,一般に
la+6|≦|a|+|6|
-|A|A|A|
更にこれから
la+6/≧0,|a|+|6|≧0 であるから
よって
別
-10≧≦|6| であるから
-lak≦a≦lal,
辺々を加えて -(|a|+|6|)≦a+b≦|a|+|6|
la+6|≧|a|+|6|
|a|+|6|≧0 であるから
(1)の不等式の文字αを a-b におき換えて
|(a-6)+6|≦la-6|+|6|
よって|a|≦la-6|+|6| ゆえに |a|-|6|≦la-61
別解 [1] |a|-|6|<0 すなわち |a|<b のとき
(左辺) < 0, (右辺) > 0 であるから不等式は成り立つ。
[2] |a|-|6|20 すなわち |a|≧|b のとき
la-b2-(al-16)²=(a-b)2- (a²-2|ab|+b²)
=2(-ab+labl≧0
よって
(al-ba-b12
|a|-|6|≧0,|a-b≧0 であるから
|a|-|6|=|a-6|
A-A≥0, |A|+A20
c≧0 のとき
exclxlsc
x≤-c, c≤x
1xc
(3
← 2 の方針 |α|-6|が負
の場合も考えられるの
で、平方の差を作るには
場合分けが必要。
ini 等号成立条件
(1)は(*) から, lab=ab,
すなわち, ab≧0 のとき。
よって, (2) は (4-6)620
ゆえに (a-b≧0 かつ≧0)
または(a-b≦0 かつ b≦0)
すなわち ab0 または
abのとき。
RACTICE 29
不等式|a+b|≦|a|+|6| を利用して,次の不等式を証明せよ。
(1)|a-6≦|a|+|6|
(3) la+b+cl≦la|+|0|+|cl
(2)|a-cl≦|a-6|+16-c|
