Mathematics
高中
已解決
最後のvなんですが、赤ペンで書いてある場合もあるのかなと思ったんですが、どうして解答の方のようになるのか教えて欲しいです🙇🏻♀️
3
(30点) 図のように、任意の△ABCにおいて, 3つの内角それぞれの3等分線を引き、角
α,β,yを図のように定める. 隣接する2本の3等分線が交わる点を L, M, N とする.このと
き,ALMNは正三角形であることを以下の(i)から(v)の問いに答えながら証明せよ.なお, 解答
できない問いがあっても,その問いの結果を使って以降の問いに解答してよい。
A
BL BM
3M PNL
SUB
Sin 60-
2k
SM BLN
60+α
601ß
N
aa
608
B
B
L
B
60+8
△ANB に正弦定理を用いることにより,
AB sin β
AN=
sin (a +β)
を示し、さらに△ABCに正弦定理を用いることにより,
sin B
AN 2 R sin ∠ACB
sin (60° - y)
を示せ.ただし, Rは△ABCの外接円の半径である.
(ii) sin (60°-y) と sin (60° + y) に加法定理を用いることにより,
4siny sin (60°-y) sin (60° + y) = sin∠ACB
を示せ、必要ならば, 3倍角の公式 sin 30=3sin04 sin' を用いてもよい。
((i)と(ii)より次を示せ.
AM
(でやった事を
AN
=
こっちでもやる。
sin ( 60°+y)
in (60°+ β)
(ii)より, ∠ANM=60°+B, ∠AMN=60° + を示せ 必要ならば、 以下の事実を用いて
もよい。
[事実] xy に関する連立方程式
x+y=120°+B+y
AM
AN
sin x
sin y
の解は,0<x<180° 180°の範囲にはx=60°+ ß, y = 60° + y だけである.
CANM=60+ ∠AMN=60+r.
(iv)より, ∠MNL=4NLM = ∠LMN = 60°を示せ.
A=Bを示すには、
「①A=C,B=c.
AB25
-=2R sinc ACB
31608) ②A-B=0.(B-A=0)
(iv) ANM に正弦定理を用いると
AM
AN
=
sin∠ANM sin∠AMN
・③
また, ANM について
∠ANM + ∠AMN=180°-α
=180°- (60°-β-y)
(x + xano E) (
=120°+β+y ......④
③ ④ および問題文に与えられた [事実] より
∠ANM=60°+B. ∠AMN=60° + r
(nie-E)
∠ANM=60°+B, ∠AMN=60° + y
(v)(iv)より
同様にして
∠BLN =60°+y, ∠BNL=60°+α
∠CML=60°+α, <CLM=60°+β
よって(大分) mie=
<MNL=360°-∠ANM-∠BNL-∠ANB
nie
(証明終)
18.
①問
16.4
>CBLN=60+α,<BNL=60+36)
<CML=60+β.CCLM=60+X
=360°- (60°+β) - (60°+α)- (180°-α-β)
=60°
Bit
Ania
(y+05) aiax nie=
同様にして
(-08) nie
∠NLM=60° ∠LMN=60°
以上より
Aniz
BOAnia ASMA
°00). nie
∠MNL = ∠NLM= ∠LMN=60°
(証明終)
x+1=
忍
解答
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