數學
高中
已解決

有人會解這個四次(其實三次)多項式的根嗎?
大感謝!!!

, ),B(tt) D(4t-212 4t-212) C(41-212 · 1) , , +4x=t=−2(4t−2t²)²+4(4t−2t²) ⇒ 8t4 −32t³ +40t² -15t=0 ⇒t=0v. 3.5±5 = 3 (不合) 5-√5 2 4
高中 數學 學測 多項式 三次多項式 解根 根與係數

解答

✨ 最佳解答 ✨

t=0 或 8t³-32t²+40t-15 = 0

(2t)³ - 8(2t)² + 20(2t) - 15 = 0
設 u = 2t
則 u³-8u²+20u-15=0

注意到,它可以寫成
-(-u)³-8(-u)²-20(-u)-15=0
⇒ (-u)³ + 8(-u)² + 20(-u) + 15 = 0
-u 不可能是正數,因為四個正數相加不可能變成 0
又 u≠0,所以 u > 0

先猜他有整數解
由一次因式檢驗法,它只可能是 ±1, ±3, ±5, ±15
又因為 u 只能是正數,只要檢驗 1, 3, 5, 15
代入左式檢驗:
1: 1³-8·1²+20·1-15 = -2
3: 3³-8·3²+20·3-15 = 0
所以 u=3 是一個解
換句話說 (u-3) 是左式的一次因式

用綜合除法或待定係數法做因式分解
u³-8u²+20u-15 = (u-3)(u²-5u+5)

所以得到 u=3 或 u²-5u+5=0
(u=3 ⇒ t=3/2)

u²-5u+5=0
⇒ u = (5±√5)/2
⇒ t = (5±√5)/4

123

你太厲害了! 謝謝你!! 話說這是高中學測範圍嗎? 如果是的話,你是怎麼想到要先把t變成2t乘進去的(因為我那時候直接從8t³-32t²+40t-15去猜整數解就猜不到)

qn

因為 t³ 的係數是 8=2³
然後看到t², t 的係數剛好也是偶數
所以就想到這樣代換

qn

就只有 (-u) 的三次方程式比較技巧
還有一次因式檢驗法不是學測範圍

123

好的~~ 謝謝你幫了我大忙🙏🙏🫶

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