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高中
已解決

【統計的な推測】

(ケ)についてです。
これってなんで二項分布に従うのですか?解いてる時は感覚的に無効分布だと思ったのですが見直したらよく分からなくなりました。

正規分布に従うときと二項分布に従うときの違いってなんですか?

以下の問題を解答するにあたっては,必要に応じて27ページの正規分布表を用い を行った。 地域Kにおける高校生のスマートフォン(以下,スマホ)の利用状況について調査 数学C 第4問~第7問は,いずれか3問を選択し, 解答しなさい。 第5問 (選択問題(配点16) てもよい。 数学II, 数学 B 数学C 昨年度の地域 K の高校生全員を母集団とし, 400人を無作為に抽出する。この とき,1≦h<2である高校生の人数を表す確率変数をY2h<3である高校 生の人数を表す確率変数を Zとする。 Yは ケ に従う。 また, Yの標準偏 差はZの標準偏差の 6 コ 1 1.83 サシ 倍である。 夕 B(400, 0.2) √V(x)=400.0.2(1-02) 68 (1) スマホの所有台数について調査するため,地域Kの高校生を無作為に10人選 び, 次のアンケートを行った。 20 18 26 地域Kでは,予算の関係で今年度は全数調査ではなく, 標本調査を行うことに なった。 標本の大きさを1600として, 無作為に抽出した高校生を対象に調査を V80.0.8=64=8 行ったところ, スマホ利用時間の標本平均は4.7時間であり, 標本の標準偏差は 2.4時間であった。 アンケート 2.9 8 次の選択肢から、 自分のスマホの所有台数を選んでください。 60 今年度の高校生のスマホ利用時間の母平均をmとし, 母標準偏差は2.4 とす 54 る。 標本の大きさ1600 は十分に大きいので, 標本調査の結果による, m に対す 60 A : 0 台 B:1台 C2台 D : 3台以上 0.75 る信頼度 95%の信頼区間は ス である。 アンケートの結果は E(x)= 0x110 8160 m-4.7 2.4 2.4 +1× +2× ×1/6+3×10 56- 1000 0.06. 40 40 ケ A:1人 B:7人 C:2人 D:0 人 については,最も適当なものを,次の①~⑤のうちから一つ選べ。 =0.06 T To 10 であった。 この10人の集団において, 一人を無作為に抽出したとき, その高校生 のスマホの所有台数を表す確率変数を X とする。 Xの平均 (期待値) は 10 ⑩ 正規分布N (400,0.05) ① 二項分布B (400,0.05) 10 0.0 402.4 ②正規分布N (400,0.1) ③二項分布B (400,0.1) ア は オ カキである。 イであり,X2の平均は ウ エラである。 また, Xの分散 E(x)= ④ 正規分布 N (400, 0.2) ⑤二項分布B (400, 0.2) 8 + To 10 10/15 029 10 v(x) = 400.0.1 (10.1) =40×0.9=36 100=136=6. V(x)=(x)E()=1.5-1.21. (2)地域Kでは, 高校生のスマホの1日の利用時間 (以下, スマホ利用時間) を毎年 度調査している。 昨年度は,地域Kの高校生を対象に全数調査を行った。 ただ し, スマホを所有していない高校生は,スマホ利用時間を0時間とした。 以下の 表は,スマホ利用時間をん (時間)としたときの全数調査の結果である。 ス については,最も適当なものを,次の①~⑤のうちから一つ選べ。 ⑩ 4.02mm 4.92 ② 4.47 ≦m≦4.95 ④ 4.58≦m≦4.82 ① 4.44≦m≦4.90 ③ 4.55≦m≦4.85 ⑤ 4.62mm ≦ 4.88 121 h 0≦x<1 1≤h≤2 2≤h<3 割合 75% 10%】 3≦h < 4 4≤h 20% 1.4 12. 25% 40% To 1.21 100 ただし、数値はすべて正確な値であり,四捨五入されていないものとする。 0.29 h. np (数学II, 数学B, 数学C第5問は次ページに続く。) B(400,0.1) (数学II, 数学B, 数学C第5問は次ページに続く。) -1.96€ m-4.7 0.06 € 1.96 -0.1176m-4.70.1176 0 -22- 30+65 -23-45824 0.11 4.7 m64,8156 95

解答

✨ 最佳解答 ✨

この問題の本質は、二項分布と正規分布の関係を理解することです。

最初に二項分布が適切である理由を考えてみましょう。400人の高校生一人一人について、その生徒のスマホ利用時間が2-3時間の範囲に入るかどうかを調べているわけです。これは成功確率p=0.2の試行を400回繰り返していることになります。各生徒は独立に調査され、結果は「範囲内か範囲外か」の2択です。このような状況は、まさに二項分布B(400, 0.2)で表現されるのです。

ここで、二項分布と正規分布の違いについて説明しましょう。二項分布は離散的な値(この場合は0人から400人までの整数値)しか取れませんが、正規分布は連続的な値を取ることができます。また、二項分布は必ずしも左右対称ではありませんが、正規分布は常に左右対称な形をしています。

しかし、試行回数nが十分に大きい場合、中心極限定理により二項分布は正規分布で近似できることが知られています。この問題ではn=400と十分大きいため、正規分布による近似が有効です。

ここで最も重要なのは、正規分布のパラメータの意味です。正規分布N(m, σ²)において、mは平均値、σ²は分散を表します。二項分布B(400, 0.2)を正規分布で近似する際は、以下のように変換します:
- 平均値:m = np = 400×0.2 = 80
- 分散:σ² = np(1-p) = 400×0.2×0.8 = 64

したがって、正しい近似は正規分布N(80, 64)となります。選択肢は、平均値が全生徒数と同じ400という不適切な値であり、分散も0.1と実際の分散64から大きく外れています。

このように、統計的な分布の近似を考える際は、パラメータの意味を正確に理解し、適切な変換を行うことが重要です。特に正規分布は(平均, 分散)という形で表されることを、しっかりと覚えておく必要があります。​​​​​​​​​​​​​​​​

ぱっぱ

めっちゃわかりました。ありがとうございます💓💓

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