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高中
已解決
95下線部についてです。
②③のグラフが接するとき、共有点は2個になると私は思い、
-(16√3)/9 < a < (16√3)/9と答えたのですが、
なぜ解答は -(16√3)/9 ≦ a ≦ (16√3)/9 と、<ではなく≦になっているのでしょうか?
① 異なる2つの実数解をもつ
②正の解1つと負の異なる解2つをもつ
13
(①の答えは,a=- 9
27'
②の答えは,0<a <9)
(別解)(αをxと分離しないで求める方法)
f(x)=x+5x2+3.x -a とおくと
f'(x)=3x2+10x+3=(x+3)(3x+1)
a
151
1
よって, x=-3,
3
で極値をとる.
y=f(x)
f(x)=0 が異なる3つの実数解をもつとき
y=f(x) (極大値)×(極小値) < 0
ƒ(-3)(-)<0
注
N
DC
よって、(-a+9)(
a+9) (-a-137) <0
:.
(a−9) (a+13) <0
27
- 13<<9
27
この解答は,以下のことを利用しています.
xはf(x)=0の解xは y=f(x)とx軸の交点のx座標
3次関数 y=f(x) が
極値をもたない
実数解 1個
(極大値)×(極小値) > 0
極値をもつ(極大値)×(極小値) = 0・・・実数解 2個
(極大値)×(極小値) <0・・・実数解 3個
第6章
ポイント 定数を含んだ方程式の解はf(x)=αと変形し,
y=f(x) と y=aαのグラフの交点のx座標を考える
演習問題 95
αを実数とする. 3次方程式
となるようなαの値の範囲を求めよ.
-4x+a=0 の解がすべて実数
より
-2ax+1)
■ためには,
つの実数
94
1
V=
3
π
=ura(a-r)
=
」式をDと
あるから
V'=-
+1)>0
_2
π
3
3
1'=2 / xar-xr² = xr (23/3a-r)
3
ここで,h=a-r>0より
0<r<a
よって,Vの増減は表のようになる。
r 0
V' 0
-3x-1
V
+
|2|3
0
23
a
最大
なり
したがって,r=-
3a
Ga のとき
4π
最大値
-a3
81
り
95
5 156
x-4x+a=0
..... ①
16
わればよいので
-≤-as-
16
3√3
3√3
16/3
163
-≤as-
9
9
96
(1)=32-6より, T(t,ピー6t)にお
ける接線は
y-(3-6t)=(3t2-6)(x-t)
y=(3t2-6)x-2t3
(2) (1) で求めた接線はA(2, p) を通る
のでp=6t2-12-23
∴p= -2t3+6t2-12
.....1
(3) 点Aから3本の接線が引けるので
①は異なる3つの実数解をもつ.
① より 23-6t2+12+p = 0 だから,
f(t)=2t-6t2+12+p とおくとき,
f(t) は極大値, 極小値をもち,
(極大値)×(極小値) < 0
が成りたつ.
f'(t)=6t2-12t=6t(t-2)
(0)(2)0 であればよいので
(12+p)(4+p)<0
..-12<p<-4
1x-4x=-a
より
y=x³-4x
y=-a
のグラフで考える。 ②の右辺を f(x) と
おく.
f'(x)=3x²-4=(√3x-2)(√3x+2)
より②のグラフは次図のようになる.
y 16
3√3
y=-a
2
0√3
2
IC
√3
16
3√3
①の解がすべて実数となるには②と③
のグラフが接するときも含めて3点で父
97
(
f(x)=(x+2)3-27x とおくと
f'(x)=3(x+2)2-27=3(x+5)(x-1)
f'(x)=0 を解くと, x=-5,1
よって,f(x)の増減は表のようになる
Y y=f(x
IC
1
0 ...
f'(x)
0 +
f(x)
07
ゆえに, x=1で
最小値 0
.. f(x)≥0
すなわち,
(x+2)³≥27x
(x0 )
-108/
N
-5 O
01
X
-3x-2
+1)
f(x)の
て
解答
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分かりやすい解説をありがとうございます!