Question

淳華

解説お願いします。漸化式の問題です。
(2)の(ア)でSの式がよく分かりません。
Sの式はどこからでてきたのですか？

教えてくださると嬉しいです。
よろしくお願いします。

練習 302 α = 2, n'an+1= -(n+1)'an (n=1, 2, 3, ...) で定められた数列{a}がある。
(1) 一般項 am を求めよ。
(2)初項から第n項までの和 Sm を求めよ。
(1)nan+1 = -(n+1)'an の両辺をn (n+1) で割ると
an+1
(n+1)2
an
2
n
bn
bm = " とおくと
bn+1
=
-bn
an
(
よって,数列{bm} は初項 b1, 公比-1の等比数列である。
=1/2=2より
b1=
したがって
〔別解)
bn=2.(−1)"-1
an=n.bn=2n² (−1)"-1
nan+1= -(n+1)2an より
n≧2のとき
(n+1)2
an+1
=
n²
an
(n-1)(n-2) an-2
n²
an = -
(n-1)2
)2an-1
n2
=(-1)2
(n-1)²
=1
=...
(n-1)^
2
X12
=(-1)^{2)
=(-1)n-1.2m²
n=1 を代入すると2となり, αに一致する。
したがって an=(-1)"-1.2m²
(2)ア)
n=2m(m= 1, 2, 3, ...) とおくと
が偶数のとき,
S2m = 2・12-2・2°+2・3°-2・4°+･･･ +2(2m-12-2(2m)2
= 2[(12-2) + (3°-4°)+・・・+{(2m-1)-(2m)"}]
m
m
=22k-1)-(2k2}=2(-4k+1)
k=1
k=1
= =2{-4.1/12m(m+1)+m}=-2m(2m+1)
41=(-1)°.2.12
= 2
例題 284 参照。
nの偶奇で場合に分
n=2m より, m=
In であるから
Sn=-n(n+1)

(イ)が奇数のとき, n=2m-1 (m=1,2,3, ...) とおくと
S2m-1 = S2m+2(2m)2
=
-2m(2m+1)+8m²=2m(2m-1)
(ア)の結果を利用する。
S2m=S2m-1-2(2m)2
n+1
n=2m-1より, m=
であるから
2
S=n(n+1)
(-n(n+1)
( n は偶数 )
(ア)(イ) より S =
n(n+1) (nは奇数)
すなわち
(別解
(1)より
Sn=(-1)n-1.n(n+1)
an=(-1)"-1{(n-1)n+n(n+1)}
S= (0.1+12) - (12+23) + (23+34)
- (34+45) +... + (−1)"-2{(n-2)(n-1)+(n-1)n}
=(-1)n-1.n(n+1)
+(−1)"-1{(n-1)n+n(n+1)}
-1 (nが偶数)
=
1 (nが奇数)
2n2=(n-1)n+n(n+1)

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

和

ふつうに、(1)の結論を使っています
(1)よりaₙ = (-1)ⁿ⁻¹×2n²で、
Sₙ = a₁+a₂+a₃+……+aₙなのだから
Sₙ = (-1)⁰×2×1² + (-1)¹×2×2² + (-1)²×2×3² + …
つまり
Sₙ = 2×1² - 2×2² + 2×3² - ……
です

淳華

回答ありがとうございます。

写真の解説では、n=2mとしていてm=1のときnは2なので、そのまま(1)の式に代入したらSの式の1番初めは2×2²になりませんか？

追質問すみません、お願いします。

和

Sₙはa₁+a₂+a₃+……+aₙのことですよ
n=2mとしたらS₂ₘ = a₁+a₂+a₃+……+a₂ₘです
Sₙのnは、和の最終項を表します

淳華

ありがとうございます。
理解出来ました！