Mathematics
高中
已解決
この問題の2枚目の式のところの7m+7の7の部分はどこに行ったのでしょうか?誰か解説してくださるとありがたいです、よろしくお願いいたします🙇
36
(104) 第1章 数
列
例題 B1.50 数学的帰納法 (3) 命題の証明
****
”を2以上の自然数とするとき、パー"が7の倍数であることを数字を
帰納法によって証明せよ.
考え方 n-nが7の倍数 n-n=7×(整数)
となる.このことを数学的帰納法を使って証明する.
解答)
nin.......① とおく.
(I) n=2 のとき,
n-n=27-2
=126=7・18
よって, n=2のとき ① は7の倍数である.
(II)(2)のとき ①が7の倍数であると仮定す
ると,
k-k=7m(m は整数)
とおける.
(日本女子大)
例
2以上の
なので、最初の
2である.
考
このとき, n=k+1 のときの (k+1)-(k+1)が7
の倍数であることを示す.
(k+1)^-(k+1)
=k+Ck+C2k+7C3k+7C4k³+7C5k²+7C6k +1
-(k+1)
(k+1)^(k+1)
=7X (整数)
となることを示
k-kは仮定より
7の倍数,
=k+7k+21k+35k+35k+21k2+7k-k
=(k-k)+7(k+3k + 5k+5k+3k+k)
=7m+7(k+3k+5k+5k+3k+k)
=7(m+k+3k+5k+5k+3k+k)
ここで,m+k+3k+5k+5k+3k+k は整数なの
で, (k+1)-(+1) は7の倍数である.
7(k+......)も
7の倍数
したがって, n=k+1 のときも①は7の倍数である.
(I),(II)より,2以上のすべての自然数nについて ① は 7
の倍数である.
Focus
自然数nに関する証明に数学的帰納法は有効である
注》整数αの倍数は,n (整数) を用いてan と表せる。
「αで割り切れる」 「α を約数にもつ」 「an と表せる」
となる.
すべての自然数nについて,
22+6n-1
で割り切れることを証明せよ。
=k²+7k+21k+35k+35k³+21k²+7k-k
= (k-k)+7(k+3k+5k+5k³+3k²+ k)
=7m+7(k+3k+5k+5k³+3k² + k)
=7(m+k+3k+5k+5k³+3k² + k)
解答
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