Question

星光

次の様な問題で色々調べたら二乗と一次式で表す？方法と別解みたいに係数比較で解く方法などが入りますがどのやり方が一番いいのでしょうか？

★★★★
例題 214 4次関数のグラフの複接線
f(x)=x4x8x とする。
(1) 関数 f(x) の極大値と極小値, およびそのときのxの値を求めよ。
(2) 曲線 y=f(x) に異なる2点で接する直線の方程式を求めよ。
思考プロセス
(北海道大 )
《ReAction 接線の方程式は, 接点が分からなければ (t, f(t)) とおけ
(2)段階に分ける
曲線 y=f(x) に異なる2点で接する。
例題 209
y=f(x)l
例題
212
x=t における y=f(x) の接線/ が
x=t 以外の点で再び y=f(x)に接する。
の方程式とy=f(x) を連立すると
x=t
再び接する
xxの2次式) 0
x=t 以外の重解
(1) f'(x)=4x12x16x=4x(x+1)(x-4)
f'(x) = 0 とおくと
x=-1, 0, 4
よって, f(x) の増減表は次のようになる。
x
1 ... 0 *** 4
***
+
-128
YA
f(x)
したがって
'(x)- 20 + 0 - 0
-37 0
x=0 のとき極大値 0
x=1のとき極小値 -3
x=4のとき極小値128
x
(2) 曲線 y=f(x) 上の点(t, -4-8) における接線
の方程式は、f'(t)=4-12-16 より
y-(4-413-813) (4t3-12t2-161)(x-t)
y=(4t-12-16t)x-3 +81 +81 ... 1
① と y=f(x) を連立すると
x-4x-8x=(4-12-16t)x - 3t + 8t + 8t
(x_t)^{x+(2t-4)x +3t-8t-8}=0
① が曲線 y=f(x) と x=t以外の点で接するのは
x²+ (2t-4)x+3t-8t-8=0 ... ② が x = t 以外の
重解をもつときであるから, ② の判別式をDとおくと
D=0
D
4
-=(t-2)2- (3t2-8t-8)=-2t²+4t+12
t-2t-60 より
このとき②の重解は
t=1±√7
-128
x=t で接するから,
(xt) を因数にもつ。
これは, t と異なる。
ここで, tはピー 2t-6 = 0 を満たし
12
4t-4
t2-21-6
4t3-12t2-16t
4t + 8t
4t3 - 8t2-24t
- 4t + 8t + 24
-3t+2t-6
-24
-3t+8t³ + 8t²
2-21-6)
- 3t + 6t + 18t2
21-102
2t3 42 12t
612+12t
割り算をして,次数を下
げる。
1-2t60 より
t=2t+6
よって
4t3-12t2 - 16t
=4t(t-3t-4)
=4t(-t+2)
= 4t +8t
=-8t-24+8t = -24
のように次数を下げても
よい。
よって, t = 1±√7 のとき
6t+12 +36
-36
4t3-12-16t=(t2-21-6)(4t-4)-24-24
36 +81 +81=(2t-6) (-312+2t-6)-36=-36
したがって, 求める接線の方程式は, ① より
y=-24x-36
(別解)
求める接線を y=ax+b... ① とし,2つの接点のx座
標を x = s, t (sキt) とする。 y=f(x) と① を連立
すると x4x8x-ax-b=0
②は, x= s, をともに重解にもつから,
(x-s) (x-t)=0 ··· ③ とおける。
③は
{(x-s) (x-t)}= 0
x^2(s+t)x+{(s+t) +2st}x"
... 2
例
38
5章 14 導関数の応用
{x-(s+t)x+st}=0
-2(s+t)stx+(st) =0
... ④
②④の係数を比較すると
-4-2(s+t) ... ⑤ -8= (s+t) + 2st ... ⑥
-a=-2(s+t)st ... ⑦ -b = (st)
... 8
1-8=4+2st
よって st =-6
⑤ より s +t = 2 であり, ⑥に代入すると st =-6
よって, ⑦ より a 2.2 (-6)=-24
⑧ より b=-36
ここで,s, tは2次方程式 X2-2X-6=0 の解であ
り
X=1±√7
重解ではないから, sキt を満たす。
stを確かめる。
したがって, 求める接線の方程式は
y=-24x-36
2t-4
x=
2
=-t+2=1+√7 (複号同順)
練習 214 曲線 y=x(x-4) のグラフと異なる2点で接する直線の方程式を求めよ。
367
p.392 問題214

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

和

一番いい方法があるなら、
それだけとかそれメインで載せます
どれも重要ということです

本解のほうが計算は楽かと思います
別解は方針は簡単ですが、
連立を解くのはハマるときはハマるかもしれません

星光

有り難う御座います！