Mathematics
高中
(3)がよく分かりません💦
実戦
○ 50 領域と最大・最小音の鮮
TONTE
ある工場では2種類の製品 X,Y を製造している。次の表は
音・各製品を1kg 製造するのに必要な原料 α, b, cの量
タイムリミット (20分
各原料の1日に仕入れ可能な量
内部であり
・各製品の1kgあたりの利益
をまとめたものである。
製品X 製品Y 1日に仕入れ可能な量
20kg
原料 α
a
2kg
5kg
24kg
原料 6
3 kg
原料 c
4kg
12kg
利益 6万円 9万円
話してい
x,yは実数とする。1日に製品 X を xkg, 製品Y を ykg 製造するとき, 1日に仕入れ可能
な量から、次の不等式①~③ が成り立つ。
ア Ix+1 イy 20
①
0≦xウ
0≤y
I
(③
(1) 連立不等式①~③の表す領域をDとする。 次の10個の点のうち, 領域 D に含まれる点
はオ 個ある。
08.4点 (04)点 (1,3),点 (2,3), 点 (3,3),
点 (5,2),点 (6,2),
点 (7, 1),
点 (4, 2),
(8, 1),
点(9,0)
(問題50 は次ページに続く。)
20
0/
各原料は1kg単位で使用するものとする。 1日あたりの2つの製品の利益の合計は
[カx+キ y (万円) であるから, 1日の利益の合計を最大にするには製品Xを
kg,製品Yをケkg 製造すればよく, 利益の合計はコサ万円である。
ところがある日、原料の仕入れ先から 「今日は, 原料 6が20kg しか仕入れられない。」と
の連絡があった。この日の利益の合計を最大にするには製品Xをシ kg, 製品Y を
スkg 製造すればよく, 利益の合計はセソ 万円である。
各原料が100g単位で使用できる場合は,1日の利益の合計を最大にするには製品Xを
タ kg,製品をチツテg製造すればよく, 利益の合計はトナ万 三千
円である。
> p.80 8
解答編
27
50. 《領域と最大 最小 》
(ウ)8 (エ) 3
0≤3x≤20
(タ) 8
解答 (ア) 2 (イ) 5
(オ) 5
(カ) 6 (キ)9(ク) 7 (ケ) 1
(コサ) 51 (シ) 5
(チッテ) 800
y k
20
... 5
よって
④
3
(ス) 2 (セソ) 48
(トナ) 55 (ニ) 2
◇◆思考の流れ ◆◇
1日に製品 X をxkg, 製品 Y を ykg 製造するこ
とから,x,yについての不等式を作り、その不等
式が表す領域を図示する。 利益の合計を万円と
すると,k=px+αy の形に表されるから,この直
線が領域内の点を通過するようなkの最大値を調
べる。ただし,各原料を1kg単位で使用するとき
は、領域内の点のうち, x座標, y座標がともに
整数であるもの (格子点という)を通過する必要が
ある。
このとき, 連立不等式①,
③ ⑤の表す領域は右の
図の斜線部分のようにな
る。 ただし,境界線を含
む。 よって, 直線 ④ が領
O
城内の点 (5,2)を通るとき,そのy切片は最大とな
り,k=6.5+9.2=48である。 つまり、製品Xを
5kg, 製品 Y を2kg 製造するとき利益の合計は最
大で, 48万円である。
(3)各原料が100g単位で使 yk
用できる場合は, 直線 ④
2
9
の傾き1/23 と領域Dの境
D
界線 2x+5y=20の傾き
各原料の1日に仕入れ可能な量の条件から
2
について
原料 αについて
0≦2x+5y≦20
5
原料について
03x24
であるから, 直線 ④は領
O
すなわち 0≦x≦8
...... ②
原料 c について 0≤4y≤12
域D内の点(8, 1)を通るとき,その y切片は最大
4
すなわち 0y≦3 ...... ③
(1) ① からか
となり,k=6.8+9 =55.2である。つまり,製品
y
maya-2x+4
=2x+4
y=
x+4
3]
D
よって, 領域Dは図の
斜線部分のようになる。
ただし,境界線を含む。
よって, 与えられた10
個の点のうち,
Xを8kg,製品を1kg すなわち 800g 製造す
るとき利益の合計は最大で, 55万2千円である。
◎ここを押さえる!
18x
O
2
y= 5
領域を図示し, 直線6x+9y=kを上下に平行移
動させながら切片が最大になる場合を調べる。
点 (1,3), 点 (2,3), 点 (4, 2), 点 (5,2), 点 (7, 1)
の5個が領域Dに含まれる。
51. 《三角関数の基本問題》
(2)1日あたりの2つの製品の利益の合計は6x+9y
万円である。
解答
(アイウ) -12
(エオ)
(カキ) 5
13
(クケ)
12
yt
6x+9y=k ④ とおく
2
(コサ) -3
9
(ソ)
(セ) 1
-4
(タ) 4
5
(チ) 9
と、これは傾きが1333
④
(シテ) 13
(ネ) 1
-D
(ニヌ) −1
切片が
の直線を表す。
(トナ) 27
(7, 1)
(フへ)
直線 ④ 領域 Dと共有点
(ハヒ) 1
(ホ)
2
をもつようなkの値の最大 O
18
値が利益の合計の最大値である。 ただし, 各原料は
1kg単位で使用するから, 領域Dとの共有点は格子
点に限る。 したがって, 直線④が領域 D内の
(1) << 5 cos0 <0
よって, sin 0 =
=
5
13
のとき
点 (71) を通るとき,その切片 最大となり
k=6.7+9.1=51である。 つまり,製品 X を7kg,
製品 Y を 1kg 製造するとき利益の合計は最大で,
51万円である。
次に, 原料が20kg しか仕入れられないとき
cos0=-√1-sin 20
-12
==
513
=
13
sin
5
tan0=
=
また,tan=
COS
9=1/3のとき,1+tan20=
1
COS2
解答
尚無回答
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