Question

nyoung

数学Ⅱ、多項定理で質問です
写真の線を引いた部分が理解できません
なぜ足すのでしょうか？

要例題 7 展開式の係数(3)(多項定理の利用)
(1+x+x)" の展開式における, xの項の係数を求めよ。
C HART & SOLUTION
多項定理を利用して、 (1+x+x2)の展開式の一般項を Ax” の形で表すと
.9+2r
-x9
7!
p!g!r!
となる。
ここで,g,rは整数で≧0grpg+r=7...... ①
xの項であるから g+2r=3
②
そこで,①,②から,g,rの値を求める。
00000
基本6
D,g,rの文字3つに対して, 等式が+gtr=7,g+2=3の2つであるが, 0 以上の
整数という条件から、か,g,rの値が求められる。
解答
(1+x+x2)の展開式の一般項は
7!
p!q!r!
1.x(x2)=
7!
x+2
p!g!r!x
D,g,r は整数で≧0g≧0,r≧0, p+g+r=7
←1.x(x2)=xx25
=x9+2r
<p>0g >Or>0 とか
ン違いしないように。
g≧0 から 3-2r≧0
の頃は q+2r = 3 すなわち g=3-2r のときである。
よって r=0,1
3-9
r=
2
0 g=3-2r, p=7-g-rから
r=0 のとき g=3, p=4
r=1 のとき g=1, p=5
すなわち (p, q, r)=(4, 3, 0), (5, 1, 1)
ゆえに、xの項の係数は
(別解
7!
7!
+
7.6.5
+76=35+42=77
4!3!0! 5!1!1! 3.2.1
(1+x+x2)^={(1+x)+x2}" の一般項は
Cr(1+x)^-r(x2) であるから, xの項は,r=0,1のと
きに現れて,また,これ以外はない。
は0以上
の整数から, g=13 と
してもよい。
x+2=x3 を満たす Q,
rは2組ある。
<<-0!=1
二項定理を用いて解く
と、左のようになる。

多項定理

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

和

たとえば(2x+3)³の展開式のx²の係数はどうしますか？
(2x+3) (2x+3) (2x+3)を分配法則で展開すると
8x³
+12x²+12x²+12x²
+18x+18x+18x
+27
のように8項の和になります
x²の係数は、12+12+12 = 36です
同類項をまとめる=係数を足す、です

これと似たようなことです
(1+x+x²)⁷の展開式のx³の係数は3⁷項の和になるのですが、
x³のところだけを抜粋すると35x³、42x³のようになります
これを（分配法則では大変すぎるので）二項定理で
計算で出しています
当然、これを足して（同類項をまとめて）
77x³ということになります

nyoung

なるほど…！とても分かりやすかったです
上手く自分の中で言語化できなくて困ってたのでとても助かりました
ありがとうございます！