Question

星光

次の問題で何故急に解の係数の関係が来るのでしょうかまず根本的に解の係数の関係はどの様なときにどの様な目的で使うのでしょうか？解説お願いします🙇‍♂️

★★★
192αは1でない正の実数とする。 xの2次方程式x (logab)x+210ga = 0 が
相異なる2つの正の実数解をもつような点 (a, b) の動く領域を図示せよ。
_

(ア)(イ)より
<a<1 のとき 0<x<a<x
So<a<
>1のとき
a
0<x<, a² <x
191 不寺
loga(x +y-a) < 1+1oga 2x で表される領域 D を図示せよ。
ただし, 0, α≠1 を満たす定数とする。
真数は正であるから
x+y-a>0より
2x>0より x>0
... ①
与式はlog(x-
a+loga 2x
log.(+-)<loga
(ア) α>1のとき
底は1より大きいから
異なる2つの実数解をα β とすると, 解と係数の関係により
a+β= logab, aβ=2logsa
a>0, β>0であるから
loga b>0 ③, logs a > 0 … ④
[a>0 かつB>0
1
α+B>0 かつ>
loga =
であるから,③と④は同値である。
logab
よって
logab>0
ゆえに
[a> 1
16>1
J0 <a < 1
････ ⑤ または
.. ⑥
10<6<1
(logab)-8>0
②の両辺にlogを掛けると
(logab-2){(logab)2 +210gab+4}>0
(logab)2 + 2logab+4= (logab+1) +3 > 0 であるから
logab-2>0
logab>2
よって
(ア) ⑤ を満たすとき
b> a²
(イ) ⑥を満たすとき
b<a²
(ア)(イ)より, 求める領域は、 右の図の斜線部
分である。 ただし、 境界線を含まない。
b4a=1b=a²
b=1
64
(ア)
1
(イ)
a
Ta
IH
不等号の向きは変わらな
い。
193 関数y (logs / logo 4) の
x8 における最大値が8となるときのαの値を求めよ。
真数は正であるから,x>0より a>0
y= (logx-log 2) (logsxlogsa)
>0である。
a
もとおくと
Klogs =logx-log2
2
1 <2ax
整理すると
(x-a)² + y² <a² +
3
① ② ③ より 領域 Dは右の図線
部分である。 ただし, 境界線
1 ③ の境界線
べて含
=2ax
まない。
軸の交点のy座標
(イ) 0<a<1 のとき
底は1より小さいから
0 を代入して
(log2x-1) (log2x-b)
x)(1+blog2x+b
logsxt とお 底は2 (1) であるから
1
・≦x≦8 より
2
1
lo
=logx-logaa
logsxのとり得る値の範
囲を求める。
logsxlog28
x²+ y²--
a
2ax
1
a
整理すると
よって, 1, ③の境界線
はy軸上で交わる。
不等号の向きが変わる。
すなわち -1 logx
よって -151≤3
a)² + y² > a² +·
2+1
***
④
y=ピー(1+b)t+ 6 ・・・ ① とお
0
①,②, ④より, 領域 D は右の図の斜線
部分である。 ただし、 境界線はすべて含
まない。
y=
=(-10)-(1+0
4
1+'
この関数のグラフは軸t=
で下に凸の線である。
(ア)
192 α, 6は1でない正の実数とする。 xの2次方程式(logab)x+2logsa=0が相異なる2つの
正の実数解をもつような点 (a, b) の動く領域を図示せよ。
1+6
2
− <1 すなわ<1のとき
(東京女子大)
軸は区間の中央
左にあるから,
t=3 のと
大となる。
x(logab)x+2logs4=0 ... ① とおく。
2次方程式 ①の判別式をDとすると,
D= (logab)-8loga= (logab)2
①に
を代入すると
8
logab
D>0より
(logab)2
8
logab
>0
... 2
-3(1+b)+6=8
を解くと
b=-1
これは61 に適する。
-10
3 t
このとき, logaa=-1 より
1
a=2=
区間 -1st 3 の中央
の値t=1より軸が左側
にあるか右側にあるかで
場合分けをする。
グラフが下に凸の放物
であるから, 軸からより
いまの値で最大となる

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

sin theta

この問いは解と係数の関係を使わなくても解の配置，つまり対応する二次関数のグラフの満たすべき条件を考えても解けます。特に正の実数解を持つ条件は解答のように解と係数の関係が使えます。

星光

有り難う御座います！