✨ 最佳解答 ✨
解説少なかったらごめんなさい（不明点あればコメントください）
◆記号[x]の意味（知っていたら飛ばしてください）
[x]：nを自然数、n-1≦x<nとすると、[x]=n-1
（x≧0のときは、小数切捨になります）
◆n=1,3,9,27,・・・(3ⁿ)を計算してみる
a₁=[log₃1]=[0]=0
a₃=[log₃3]=[1]=1
a₉=[log₃9]=[log₃3²]=[2]=2
a₂₇=[log₃27]=[log₃3³]=[3]=3
a₈₁=[log₃81]=[log₃3⁴]=[4]=4
a₂₄₃=[log₃243]=[log₃3⁵]=[5]=5
・・・
以上から、a₁₀₀=[log₃100]=4であることがわかる。
（n=81～242は、aₙ=4）
◆n=3ᵏ、n=3ᵏ⁺¹のaₙを計算してみると、
n=3ᵏ ：aₙ=[log₃3ᵏ]=[k]=k
n=3ᵏ⁺¹：aₙ=[log₃3ᵏ⁺¹]=[k+1]=k+1
aₙ=kになるのは、n=3ᵏ～3ᵏ⁺¹-1のときだから、
aₙ=kになる最大のnは、3ᵏ⁺¹-1
aₙ=kになる個数は、3ᵏ⁺¹-1-3ᵏ+1=2・3ᵏ
◆aₙ=kになる個数がわかったので、並べて整理してみると
列挙すると、
aₙ=0,0,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3…
aₙ=kごとの個数で整理すると、
aₙ=k：個数、合計
0：2・3⁰=2個、0×2
1：2・3¹=6個、1×6
2：2・3²=18個、2×18
3：2・3³=54個、3×54
・・・
m-1：2・3ᵐ-¹個、(m-1)×2・3ᵐ-¹
これを和に変換すると、n=3ᵐ - 1のとき、aₙ=m-1であるから
Σaₖ(k:0～3ᵐ-1) ⇒ Σk×2・3ᵏ(k:0～m-1)
Sₘ=Σk×2・3ᵏ(k:0～m-1)←この数列の和を求める
3Sₘ=Σk×2・3ᵏ⁺¹(k:0～m-1)・・・3を乗じる
差（3Sₘ-Sₘ）を計算する・・・3ᵏをk=0,1～m-1,ｍに分ける
3Sₘ-Sₘ=(m-1)×2・3ᵐ - Σ2・3ᵏ (k:1～m-1) - 0
2Sₘ=(m-1)×2・3ᵐ - 2・3(3ᵐ⁻¹-1)/2 ：初項3、公比3の等比数列の和
Sₘ=(m-1)・3ᵐ - 3(3ᵐ⁻¹-1)/2
=(m-3/2)・3ᵐ + 3/2
ごめんなさい。(e)の解説のみ必要でしたね。
➁からコメントします。
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➁「一般的な∑の公式で使われるkと今回の問題にあるan=kのkとごっちゃになってしまう」
確かに、ごっちゃになります。なので以下の様に整理したのですが、、、
分かりにくかったようなので、少し修正しましたが、まだ分かりにくいかな
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aₙ=kごとに整理
k ：個数 、合計(k ×個数)
0 ：2・3⁰=2個 、0×2
1 ：2・3¹=6個 、1×6
2 ：2・3²=18個 、2×18
3 ：2・3³=54個 、3×54
・・・
m-1：2・3ᵐ-¹個 、(m-1)×2・3ᵐ-¹
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①∑ak(k=1~k=3ᵐ-¹)は数列anの第1項から第3ᵐ-¹項を表しているのか？
→違います。というか、疑問点がわかりません（∑aₖ(k=1~k=3ᵐ-¹ ⇐？？？）
aₙ=kになる個数(2・3ᵏ)をbₖとおくと、
Σaₖ(k=1~3ᵐ-¹)=Σk・bₖ(k=1~m-1)です。
aₙ：0,0,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3…
（3ᵐ-¹番目は、aₙがちょうどm-1→mへ変わる直前）
Sₘ=Σaₖ(k=1~3ᵐ-¹)
=「0の個数、1の個数、2の個数、3の個数、…,m-1の個数」の累計
=Σk・個数(k=0～m-1)
=Σk・2・3ᵏ(k=0～m-1)
わかりますか、、、
丁寧な解説ありがとうございます
回答をもとに自分で噛み砕いて、なんとか理解できました
ありがとうございました！
よかったです
回答ありがとうございます
(a)~(d)までは理解できました
(e)について、式の立て方について分からないことがいくつかあります
①∑ak(k=1~k=3^m-1)は数列anの第1項から第3^m-1項を表しているのか？
②①が正しいのならば一般的な∑の公式で使われるkと今回の問題にあるan=kのkとごっちゃになってしまう
(前者のkは数列anの第k項のこと、後者のkは数列anの項の要素の1つで、これらは別物ではないのか？)
これが理解できない理由です