Question

えふどあ

数列、数学的帰納法の問題です
写真の、(Ⅱ)の部分の計算式の最後(k>=1 より)がわかりません
この式はどこから出てきましたか？

すべての自然数nで
3+13 +2 ...... (*)
(*)
が成り立つことを. 数学的帰納法で示せ.
精講
数学的帰納法の (II) の部分では, 「n=kのときに成り立つ」という
ことを仮定した上で,「n=k+1のときに成り立つ」という結論を
示すという「証明問題」を解くことになります.つまり,数学的帰納法は証明
問題の中で別の証明問題を設定して解いているという, 少し複雑な構造をもっ
複雑な構造
ていることをきちんと理解しましょう.
>
解答
(I) n=1のときに(*) が成り立つことを示す。きもで
左辺 =31+1= 9. 右辺 = 3・1+25(水)
より, 左辺> 右辺なので,示せた.
(II) n=k のとき, (*) が成り立つと仮定する. すなわち
3 +13 +2 ...... ①
････①成り立つとしてよい式 仮定
このとき, (*) で n=k+1とおいた式
3k+2>3(k+1) +2 ......
②
②示すべき式 結論
が成り立つことを示す.
②の左辺) (② の右辺) =3+2-3(k+1)-2
このままだと
=3.3k+1-3(k+1)-2
ここで①の
仮定を使う
計算できない」
>3(3k+2)-3(k+1)-2 ① の仮定を使うと
②が成り立つことが示せた.
た。
明できれば、
れば、「-」
(I), (II)より, すべての自然数nで (*) は成り立つ.
=6k+1>0 (k≧1 より) 計算ができる形に

数列 数学的帰納法