Question

Komaru

なぜ⑴で求めた極限値を使って⑵を解くと漸近線が求められるんですか？

*135 関数 f(x)=
x²
2
および座標平面上の曲線 C: y=f(x) について
√x2+6x+10
(1) 極限値 lim
f(x)
を求めよ。
X110 x
(2)(1) で求めた極限値をα とするとき, 極限値 lim {f(x) -ax} を求めよ。
x→∞
(3) 関数 f(x) の増減と極値,および曲線Cの漸近線を調べて, 曲線Cの概形を
かけ
[21 宮崎大〕

[135] y=x^2/√ (x^2+6x+10)の概形
(1) 1 (2) -3
(3)=-5で極小値 5√5,
x=-4で極大値 82,
x=0で極小値0;
漸近線の方程式
y=x-3,y=-x+3;
(
(1)
lim (x)
lim
= lim-
√2+6+10
(2) (1)より, a=1であるから
8/2
y=-x+3
5√/5
3
y=x-3
-3
6
x
+ +
10
lim (f(x) ex)= lim
✓x2+6x+10
-x)-
= lim
=lim
ト
= lim
xxvx +6 +10)
√√x+6x+10
√2+6+10)x+√2+6x+10)
<x +6x+10(x++6+10)
-6x2-10x
+6 +10 x + x+6x+10 )
=lim-
6
+
x
10
-6-
1+
10
(2+√2+
(+1+1/+
2x+6
*
2x+6x+10-x2.
(3) f'(x)=-
2+6x+10
x 2 +6x+10
2x(x2+6x+10)-x2(x+3)(x+4Xx+5)
(x+6x+10)
f'(x) = 0 とすると x=0, -4,-5
(+6+10
I
f(x) の増減表は次のようになる。
-5
-4
･･･
0
-
0 +
0
-
0 +
極小
|大
極小
1
1
5/5
8√2
0
f(x)
f(x)
よって、f(x)はx=-555,482, x=0で小値0 を
とる。
また。 (2) より lim (f(x)-(x-3)}=0
21490
よって、直線 y=-3は曲線Cの漸近線である。
のとき,wx とすると, (1) (2) と同様に考えて
lim
(木)
= lim
lim (f(x)-(x))
x
-t
=lim
√12-61+10
= lim
x²
+x =lim
/x2+6%+10
lim
612-101
12-6t+10(t+√2-6t+10 )
+10 -1
12-61+10
6.
10
10
t
=lim
10
10
1+
yt
8√/2
y=-x+3
5√√5
したがって lim (f(x)-(-x+3)) = 0
13
y=x-3
よって、直線y=-x+3は曲線Cの漸近線である。
以上から, 曲線C の概形は右の図のようになる。
-3