Question

星光

次の問題で何故次の青線の様なことが言えるのでしょうかどなたか解説お願いします🙇‍♂️

xの方程式 4+ (a+1)2x+1+α+ 7 = 0 が異なる2つの正の解をもつよう
な定数 αの値の範囲を求めよ。
(ReAction 文字を置き換えたときは、その文字の範囲を考えよ 例題177)
思考プロセス
t = 2x とおく
4°+(a+1)2x+1+α+ 7 = 0 が
異なる2つの正の解をもつ
t°+2(a+1)t+α+ 7 = 0 が
どのような解をもつか?
対応を考える 1つのtの値に1つのxの値が対応
例題179との違い... f(t) = αの形にすると, 式が複雑になることに注意。
解 4+ (a+1)2% +1 + α+7 = 0 ... ① とおく。
例題
174
2 = t とおくと, x>0より t>1であり, ① は
底を2にそろえ, 2 = t
とおく。
t▲
t° + 2 (a + 1)t + α + 7 = 0 ..②
t=2*
...
ここで, t = 2 を満たすx は, t> 1 である tの値1つに
対してx>0であるxの値1つが存在する。
よって, xの方程式 ①が異なる2つの正の解をもつのは、
tの2次方程式 ②が1より大きい異なる2つの解をもつ
ときである。
f(t) = f+2(a+1)t + α +7 とおくと,
_oy=f(t) のグラフがt軸と t>1の範
囲で2点で交わるのは,次の [1]~[3]
を満たすときである。
YA y=f(t)|
-(a+1)
0 1
t
[1] f(t) = 0 の判別式をDとすると
D> 0
D
4
=
(a+1)-(a+7)= d+a-6
a + α-6>0より
(a+3)(a-2)>0
よって a <-3, 2 <a
[2] y=f(t) の軸が t>1の部分にある。
y = f(t) の軸は t = -(a+1) であるから
-(a+1)>1
よって a<-2
[3] f(1) > 0 であるから
(4)
f(1) =3a+10 > 0
10
よって a>-
・⑤
3
2次方程式の解と係数の
関係
a+β = -2(a+1)
aβ = a +7
を利用して
|判別式 D0
(a-1)+(β-1)>0
(a-1) (-1)>0
からαの値の範囲を求め
てもよい。
② を
t+2t+7 = α(2t-1)
と分離して,y=f+2t+7
とy=α(-2t-1) が
t > 1 で異なる2つの共
有点をもつようなαの値
の範囲を求めてもよい。
~⑤ より, 求めるαの値の範囲は
10
<a<-3
3
10 -2
2
3
-3

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

Dylan🍔

解説の上の方に赤で書いてある説明部分が理由になります

星光

有り難う御座います！