Mathematics
高中
已解決

(2)の問題なのですが、初見で考えつきませんでした。
(1)の結果を見ても分かりませんでした。
(2)は (n=1.2.3......)と書いてあるからSn+1で考えるしかなかったということでしょうか。

分かりにくくてすみません。解説お願いします。

各項が正である数列{an}の初項から第n項までの和S” が Sn 2n =2/12 (a,+2) (n=1,2,3.…) を満たす。 an an (1)S1=√2.S.Smi_1=2n (n=2,3,4 ) を示せ。 (2)Sn=√n(n+1) (n=1,2,3, ...) を示せ。 (3) 船頂を求め lima を求めよ。 z2) (山形大*)
S第n項までの )を満たす。 2,3,4 ) を示せ。 )を示せ。 よ。 (h≥2) Sm-1-Sn2=2(n+1) となるので, bm=S; ■化式を解けばいい。 (3)は,Sn-Sm-1=0 問題に帰着する。 n≧2のとき, Sn- Sn1 = an ...... (2)(1) |S^2=2 S=√2より) [Sm11-Sm2=2(n+1) ...... ③ (n=1, 2, ...) (*1)の両辺のnの代わりにn+1を用い たので,nは2スタートではなく1スタ ートになる。 (山形大*) ここで, Sn2 =b, とおくと Sm2-1=(S-S-1)(Sn+Sn-1)=an(2Sa ・・②より, Sn1=Sn-an ・・② となる。 よって、①,② ②を用いて, の左辺を変形すると, b=S12=2,bn+1=Sn1 より,③は, bn+1-bn=2(n+1)・・・ ③' となる。 これをcm とおく。 階差数列型の漸化式の解法 bm+1-bm=cm のとき, n≧2で, n-1 b = buck となる。 k=1 Ck ③は階差数列型の漸化式より、 n≧2で, n-1 b„= b₁+Σ 2(k+1) これ って . S で (3) ④ an こ a a₁ H d a (*1) の左辺 = Sn2-Sm2-1 = (Sn− Sn−1) (Sn + Sn-1) an(②より Sn-an (②'より) =an (2Sn-an) 2n (2/2(+2) (①より) an an 2n alan+a =anan+ -onl =2n=(*1)の右辺 n≧2のとき,(*1)は成り立つ。 k=1- 2 Ck n-1 =2+2_(k+1) k=1 2+3+..+n= n=k-1 +2{/1/2m(n+1)-x} =2+2. = n(n+1) :.bn=Sh²=n(n+1) ここで,Sn=a,+α+…+a>0より, II 題意より, 1, 2, am はすべて正 Sn=√n(n+1) (n=2, 3, …) となる。 一般攻ONが
漸化式

解答

✨ 最佳解答 ✨

(2)Sₙ=√n(n+1)を示すために、まず
Sₙ²=n(n+1)を示すことになるかと思います
(1)はSₙ²の漸化式なので、これを解けばSₙ²が出そうです

> (2)は (n=1.2.3......)と書いてあるからSn+1で考えるしかなかったということでしょうか。

別にそういうわけではありません
実際、Sₙ₊₁²-Sₙ²に書き換えたところで、
一番下ではn=2,3,4,…の場合しか示せず、
n=1の場合は別に調べることになります

Sₙ²-Sₙ₋₁²のままでも問題なくできるかと思います
やってみてください

ミジュ

ありがとうございます。
解答の通り出なくても出来ました。

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