Question

ゆうさ

この問題なんですが、n＝k +1ってどこから出てきたんですか……？

視点
証明
正
数学的帰納法による等式の証明
nを自然数とするとき, 数学的帰納法を用いて,次の等式を証明せよ。
1 +3 +5 + ･･･+(2n-1)=n2
①
19ページでは ①が成り立つことを,図や等差数列の和の公式を利用して考
えた。 数学的帰納法を用いることでも①を証明できるだろうか。
[1]n=1のとき
(左辺) = 1
(右辺)=12=1
よって, ① はn=1のとき成り立つ。
[2] ①がn=kのとき成り立つ,すなわち
1+3+5+ ･･･+(2k-1)=k
②
と仮定して, n=k+1 のとき ①が成り立つことを示す。
n=k+1 のとき, ①の左辺を ② を用いて変形すると
1 +3 +5 + ･･･ + (2k-1)+{2(k+1)-1}
419
==
= k + (2k+1)
= (k+1)2
n=k+1 のとき, ①の右辺は
(k + 1)
よって,①は n=k+1のときにも成り立つ。
[1] [2] より,すべての自然数nについて ①が成り立つ。

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

BaSO4

数学的帰納法です。
n=1のとき成り立つ。
n=kが成り立てば、n=k+1のとき成り立つ。
n=1で成り立つんだからn=1+1もn=2+1もn=3+1もずっと成り立ち続ける。
全ての自然数で成り立つ。
こんな流れで証明する方法です。
そのためのn=k+1です。

ゆうさ

夜遅くにありがとうございます😭