Question

都

微分の問題についての質問です。写真の紫で囲った部分ですが、なぜaがその範囲の時そのようなグラフになるのかの理由がわかりません。また、a=<0,a>0で場合分けしている意味もわからないので教えてください。

****
値を求
0≤x≤a
20 の範囲
Think
例題 203
上
最大・最小の応用 (2)
2 関数の値の増加減少 391
0≦x≦1 において, 関数f(x)=-x+3ax (a は実数) の最大値を求め
考え方 αの値によって関数が変化するので、 場合分けをする.
関数の最大・最小を調べるには, 極値と区間の両端で
の値を比べればよかったので場合分けのポイントは,
極値と区間の位置関係である。 この場合, 極値が区間
に含まれるかどうか考えればよい。
(i) a≦0 のとき
解答 f(x)=-x+3ax より, f'(x)=-3x²+3a=-3(x²-α)
f(x)は単調減少する。
したがって、右の図より、
0より。
x²- a≥0
であるから,
-3(x-a)≦0
よって、つねに f'(x) ≧0 より
最大
O
x
同じ値を
の値が
3a-1
x=0 のとき,最大値 f(0) = 0
(ii) a>0 のとき
目とな
f'(x)
=-3(x+√a)(x-√a)
L
f(x)のxでの増減表
は右のようになる.
x
0
...
f'(x)
Na
0
(+)
f(x) 0 7 極大
(ア) <1 つまり、0<a<1のとき
<√a
区間 0≦x≦1 の中にx=√a
が入るから、右の図より
x=va で極大かつ最大となり,
最大値 f(va)=2√a
(イ)√a≧1 つまり、
y4
2a√a
最大
valx
****
①
P.1 P.
が半径
f'(x) のグラフを考
えると,
(i)
a<0
値
a=0
x
(ii)
a>0
x
x = √a と
x=-√a
で極値をとるが,
0≦x≦1 の区間に
x=-va <0 が含ま
れることはないので,第6章
x=√a のみ考える.
(ア) 極値が区間に含
まれる場合
(イ) 極値が区間に含
まれない場合
a≧1 のとき
最大
区間 0≦x≦1でf'(x)≧0
より, f(x)は単調増加するので
右の図より, x=1のとき,
3a-1
0
1va
x
最大値 f(1)=3a-1
(i), (ii)より,求める最大値は, a≦0 のとき,
0
0<a<1, a≥1
0<a<1 のとき
2aa
a≧1 のとき,
3a-1
0<√a<1,√a≧1
の辺々を2乗して、
P
よって
におけ
夏に
A
その
故
201
Focus
極値が区間に含まれるか含まれないかで場合分け
練習 0x1において、関数f(x)=x-3ax (a≧0) の最小値を求めよ.
203
****
p.398 14

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

らい

増減表をかくためにf(x)が極値を持つがどうか調べます。
f'(x)=-3(x^2-a)=0となるxが存在するか調べます。

a<0のとき
-3(x^2-a)<0なので、常にf'(x)<0となりグラフ(i)のようになります。

a=0のとき、a>0のときも同じように考えてみてください。

そして場合分けをa≦0でしているのは、a<0,a=0ともにf'(x)≦0であり、単調減少といえるので、まとめているだけです。

都

回答ありがとうございます！とてもわかりやすかったです。