Question

あたま

写真の緑の矢印のところはなぜそのように変形するのですか？

のときの
10&at
-1}ド
(+)
□[S]
(+)
この等式を (A) とする。 OTLE
n=1のとき
左辺=1+1=2, 右辺 =21.1=2
よって, n=1のとき, (A) が成り立つ。
[2] n=kのとき (A) が成り立つ,すなわち
(k+1)(k+2)(k+3)........ (2k)
= 2.1.3.5········(2k-1)
よって、n=
[1], [2] から,
ついて (A) が成
(3)この不等式を
[1] n=1のと
(
左辺 = 1
阪ので
101
よって, n=
[2]=kのと
が成り立つと仮定すると, n=k+1のときの
(A)の左辺はったときの余りは12の
+1))
_(k+2)(k+3)(k+4)••••••••(2k) (2k+1)={2(k+1)}
=(k+1)(k+2)(k+3)････････ (2k) x2(2k+1)
=21-3.5••••••••(2k-1)×22k+1)
[1]
= 2 +1.1.3.5(2k+1) - D
OR
立つ。
(A)が
12+22+32
ち
2k+1)
きの
=2+1.1.3.5........(2(k+1)−1}
よって, n=k+1のときも (A) が成り立つ。
[1], [2] から, すべての自然数nについて (A) が
成り立つ。
=39+9+2k+3)
+2のとき
が成り立つと
n=k+1の
{(k+1)+1
3
(k+2)3
>3
3k2+9k+
[I]
CU St
すなわち3
すなわち
91= [1]
歌
よって, n=
94 (1) この不等式を (A)とする。帯不
[1] n=1のとき
左辺 =5'5, 右辺 =4・1=4
よって, n=1のとき, (A) が成り立つ。
[2] n=kのとき (A) が成り立つ, すなわち S
5k >4k
が成り立つと仮定する。
nk+1のときの (A) の両辺の差を考えると
5k+1-4(k+1)=5.5-(4k+4)
5.Ak-(4k+4)
12+22+...
[1],[2] から,
成り立つ。
95 (1) 12n3+3
とする。
[1] n=1のと
2-1

B.
□ 93 n は自然数とする。 数学的帰納法を用いて,次の等式を証明せよ。
2
94
(n+1) (n+2)(n+3)････････ (2n)=2・1・3・5··(2n-1)
nは自然数とする。 数学的帰納法を用いて,次のことを証明せよ。
*(2) n≧3 のとき
3">5n+1

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

ブドウくん

数学的帰納法は、n=kのときの仮定がn=k+1でも成り立つことを示す方法です。なので、、「Aの左辺は」の直後の式から、仮定として置いた式Aにk+1を代入してできる式（これが「よってn=k+1のとき…」の直前の式）になるよう無理矢理もっていくことが式変形の目標になります。

あたま

目標はわかるのですが、緑の矢印があるところの前後の式が写真のようになるのかがわかりません、特になぜ2k-1が消えるのかがわかりません

ブドウくん

最後の項にあたる2(2k+1)から2を1個拝借して、前に持っていっています。そのため、2のk乗がk+1乗になっているのです。このとき2(2k+1)だった部分は2をとられて2k+1になって、そのまま後ろに残っています。この際に、2k-1は消えたのではなく、…と書いた都合上省略してるから書いてないように見えるだけです。2k+1の手前がちょうど2k-1です。（1,3,5…と2個飛ばしだから）

ブドウくん

言葉だけじゃ分かりにくいので、書きました。

あたま

理解できました！丁寧に教えてくださりありがとうございました！