Mathematics
高中
已解決

写真の一枚目にある問題の(2)の図形のイメージがよく分からず、回答の流れもよく分からないので、どのような図形になるのか教えていただきたいです。写真の二枚目が模範解答です。

237(1)定積分 Sofpdt dt を求めよ。 1+12 (2) 不等式 x2+y2+log (1+z^) ≦ log2 の定める立体の体積を求めよ。 [09 埼玉大 ]
1-fであるから したがって a=1+(1-1)cos0, B= (1-4)2+sin0) '+2=(1+(1-fcos0}^2+(1-1)^2+sin0) =12+2(1-1)cos0+(1-1)² cos² 0 +(1-1)(4+4sin0 + sin 20 ) =125(1-1)2+24(1-tcos0 +4(1-1)²sin 0 =22sino-cos0 +3) 2 24sin0 -cos0 + 5 ) + 4sin 0 +5 20tとして, R (a, β, t), S(0, 0, t) とする。 立体を平面 z=t で切った切り口は,半径RSの円で あるから、立体の体積Vは RS2dt= t=π (a². xf {22sincoso+3)2 よって 1+12 dt= ゆえに 12 Jo1+1 + 1+tan' cos'0 -510-[0]-4 (2) 与えられた不等式の定める立体をAとする。 与えられた不等式から do x 2 + y'Slog2-log (127) ...... ① ①を満たす実数x, y が存在するための条件は log2log(1+24) 20 すなわち log(1+2) ≦ log2 底は1より大きいから 1+222 よって, zのとりうる値の範囲は 立体 A を平面 z=f(-1 口を表す関係式は 1)で切ったときの切り 中 x+ylog2log(1+t), z=t ゆえに、切り口の面積をS(f) とすると S(t)== (log2-log (1+1)) 24sin0 -cos0 +5)t + 4sin0 +5)dt 2sincos0 +3) ー(4sincoso+5)+(4sin0 +5) fasi =(4sin 4sin 0-2cos 0+6-12sin +3cos 0-15+12sin +15) (4sin+cosO+6) (3)(2)から V= '=mg(√17 sin(0 + A) +6) 1 ただし sin A=- = cos A=- 4 = √17 √17 CAP QがC上を1周するから, sin (0+A) のとりうる値 の範囲は -1sin(0+A)≤1 立体 A は xy平面に関して対称であるから, 求める 体積をVとすると V= v=25' sindt =210g2-log (1+1))dt =2m[tlog2]-2=[flog(1+19]。 +2x+12 d 21 12 =2mlog2-2mlog2+4xo1fdes よって、体積Vの最大値は 6+√17 3 -, 最小値は =4T -dt 6-√17 ーである。 3 したがって,(1)からV=4(1-4)=2(4-3) 237 体積 238 体積 不等式の定める立体(領域)の体積 立体の存在範囲を調べて, 平面 z=t で切ったと きの切り口の断面積をの関数を表す。 関 出題テーマと考え方 603 出題テーマと考え方 線分が通過してできる曲面の回転体の体積 12 (1) -dt= (2) 曲面Sの平面 x="での切り口の面積をの 関数で表す。 (1) 平面 x=uで考えると, 1+12 (x=N) Sar=[4]-1 t=tano (002) とおくと 1 dt= -do COS20 t 0→1 右の図のようになる。 点O'(1, 0, 0) から線分 PQ までの距離を1とし, △PQO′の面積を考える と, PQ=1から 1 Q 0 ←0 44 T P 0 11 y よって l="√1-u2 「トース)

解答

✨ 最佳解答 ✨

断面が円で、|z|が大きくなるほど半径が小さくなるので、多分球みたいな形です

ただ、この手の問題では、解いている最中には図形をイメージする必要はありません。イメージ出来なくても好きな平面で切って(つまり式でz=tなどと固定して)、断面積を求めて積分すれば体積は求まります。

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