206
第6章 積分法
基礎問
113 区分求積法
定積分を用いて,次の極限値を求めよ.
n2
122
n²
+
(1) lim
n4n2
12
4n2-22
++・・・+
4n2
(2) lim
+k
(2) lim
dx
1
=
(2+2)
189
207
=1/-10g(2x)+10g(2+1)=1102/11083
1
nk=n+1k
→頭に「一」 がつく理由は, 86 ポイント参照。
1 27 n
-=lim
n→∞nk=n+1k
=lim 11
n―00 n k=n+1 k
n
--log-log2
精講
limΣの形をした極限値を求めるとき, Σ計算が実行できればよい
のですが、そうでないときでもある特殊な形をしていれば極限値を
k
公式によれば, n
積分の範囲が1→2となる理由を考えてみましょう。区分求積の
求めることができます.
→とかわっています. だから, n→∞としたと
k
それが 「区分求積」といわれる考え方で,その特
殊な形とは
YA
きの
n
y=f(x),
の範囲がxの範囲ということになります。
n+1sks2n
n
// (
n+1
nn
において, lim
2n
-=1, lim
lim
nk=1"
(円)
n→∞
n
n→∞ n
-=2 であることより, 1≦x≦2とな
ります。
です.
右図で斜線部分の長方形の面積は1/12 (1) で表
12
nnk-1'
3x
n
k
ポイント
せます。
lim 1.2m)=f(x) dr
n→∞nk=1
dx
よって、21(h)は,図のすべての長方形の総和です。ここで,n(分割
x=1で囲まれた面積に近づくと考えられます。
以上のことから,
lim
1 ½ ½ ƒ ( h² ) = f f ( x ) d x
n→00 n k=1
ということがわかります.
数) を多くすると曲線より上側にはみでている部分はどんどん小さくなります。
そして最終的にはy=f(x), x軸, 2直線 x = 0,
参考
分割数を倍にすると幅が半
分になるので,この部分だ
け小さくなる
y=f(x)
a
b-a
bx
a+k.
n
x
lim
b-a
n
12 00 n
k=1
n
f(a+k.ba) = f(x)dr
区分求積の公式の一般形は下のような形
ですが, 大学入試では上の形でできない
ものは出題数が少なく、出題されてもか
なりの上位校に限られていますので、ポイントの
形で使えるようになれば十分です.
y=f(x)
b-a
n
- a fla+k⋅ b - a).
b-a
解
(1)(与式)=lim7_12
non k=1 4n-k²
lim 12
1
n→∞nk=1
(k'
4-
An
演習問題 113
Elim
n+2k
の値を求めよ.
nwk=1n2+nk+k2
第6章
答えはどうなりますか？