例題269 漸化式 〔6〕… an+1= pan +(nの1次式)
a1= 5, an+1=2an-3n+4 (n = 1, 2, 3, ...) で定められた数列{an}
の一般項を求めよ。
既知の問題に帰着
定数にしたい
nをn+1とした
an+2
24n+1-3(n+1) + 4
式との差をとる
an+1
=
2an-3n+4
-) an+1
= 2an -3m
+4
an+2an+1 =
2 (an+1-am)+(定数)
(an+1-
黒のプロセス
||
bn+1
6 とおくと
1 bn+1 = pbn+q 2
Action》 漸化式 an+1=pan+(nの1次式) は, n をn+1に置き換えて差をとれ
解 漸化式 an+1
=
=2an-3n+4
...
① において,
nをn+1に置き換えると
an+2 =
2an+1-3(n+1) + 4
②
② ① より an+2 -αn+1=2(an+1-an) -3
...
an+1 -an=bn とおくと bn+1 =
= 2bn - 3
題
85
よって bn+13=2(bn-3)
ゆえに、数列{bn-3}は初項 b1-3=α2-α-3= 3,
公比2の等比数列であるから bn-3=3.2η-1
よって
bn=3.2 -1 +3
ゆえに, n ≧ 2 のとき
{m}は{an}の階差数列
である。
●特性方程式 α=2a3
より α = 3
|a2= 2a1-3.1 + 4 = 1
{an} の階差数列の一般
が求まった。
n≧2のとき
n-1
n-1
an = a1+Σbk = 5+ (3.2-1 +3)
(3.
(3•2*-1+3)
k=1
k=1
an
= a₁+
=5+
3(2-1-1)
2-1
+3(n-1) =3.2"-1+3n-1
n=1 を代入すると5となり, α に一致する。
n=1のとき
したがって an = 3.2"-1+3n-1
3・21-1 +3.1-1
2.119
有り難うございます！