Question

軒苡

求求😭

題目:
設a、b、c>0,證明: abc≥(b+c-a)(c+a-b)(a+b+c)
解題過程如下:

數學

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

qn

令 x = b+c-a
y = c+a-b
z = a+b-c

同時
(y+z)/2 = a
(z+x)/2 = b
(x+y)/2 = c

不失一般性，設 a≥b≥c
則 y > 0 且 z > 0

若 x > 0

由算幾不等式
(y+z)/2 ≥ √(yz)
(z+x)/2 ≥ √(zx)
(x+y)/2 ≥ √(xy)

即
a ≥ √[(c+a-b)(a+b-c)]
b ≥ √[(a+b-c)(b+c-a)]
c ≥ √[(b+c-a)(c+a-b)]

三式相乘，得
abc ≥ (b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)

若 x ≤ 0 ⇒ xyz ≤ 0
則 abc > 0 ≥ (b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)