Question

ぴぽり

この問題がわかりません…。
そもそも部分分数分解を理解していないので、
それと全体的な解説をお願いしたいです！

練習
③ 39
a₁ =
2
nan+1=(n+2)an+1によって定められる数列{a}がある。
(1) an=n(n+1)0 とおくとき, bn+1をbnとnの式で表せ。
(2) annの式で表せ。
(1) an=n(n+1)b をnan+1=(n+2)an+1 に代入して
n•(n+1)(n+2)bn+1=(n+2)•n(n+1)bn+1
両辺を n(n+1) (n+2) で割ると
bn+1=6n+
n(n+1)(n+2)
1
(2)(1) から
bn+1-bn=
n(n+1)(n+2)
bn+1-bn=cn とおくと
=/12/1m(n+1)-(+1+2)}
(n+1) (n+2)}
2ln(n+1) (n+1)(n+2)
1
Cn=
ここで
b1= =
1.2
11
1
a1
==
22 4
←部分分数に分解して、
差の形を作る。
1
(n+2)-n
2n(n+1)(n+2)
an
←bn=
n(n+1)
よって≧2のとき
n-1
bn=b₁+Σck
k=1
+
+......
=
36
4
1・2
2.3.
3.4,
+1)
(n-1)
1/21/12-(n+1)
+
1
①
←途中が消えて、最初と
最後だけが残る。
=
n=1のとき
2
2n(n+1)
1
1
1
=
2 2.1.2 4
b=1/4であるから,①はn=1のときも成り立つ。
よって
a,=n(n+1)bm=n(n+1){12-27 (n+1)}
初項は特別扱い
n²+n-1
=
2
n(n+1) 1
←
2
2

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

あ

まずは、部分分数分解をなぜ使うのか、
どういった場合に使用するのかという説明を写真で載せておくので、そっちに先に目を通してから、この問題の解説をお読みください。
まずは、
bn+1 − bn = <nを含む式> ってなってる時点で、
これは階差数列です。
求めたい数列an自体は関係性が掴めない、よう分からん数字が並んでいるだけに見えるけど、
a1とa2の差、a2とa3の差、…って、調べて並べていくと、なんか nで表せる数列になってる！っていうのが、階差数列です。そして、その数列に数列｛bn｝って、名前を付けたって感じです。
今この問題では、求めたいのが数列｛an｝の一般項ですから、どうにか数列｛bn｝を用いて、
数列｛an｝を表せないかなーって、考えます。
そうすると、下のように表せることに気づきます。
n≧2のとき、
　　　 n-1 ☜1〜nまでの差の個数はn-1
an=a1+ Σ bk となります。
k=1
つまり、
n-1 1
an=a1+ Σ ーーーーーーーー　　となるので、
k=1 k(k+1)(k+2)
ここで、詰まないように部分分数分解を使って、
上手くb nを求めているんです。bnが求まれば、
a1を足して、anが求まります。
最後、仕上げにn=1のときに、求めたanの一般項が
当てはまるかどうか確認してあげれば満点回答💯ですね。

ぴぽり

なるほど、おかげで理解できました！
本当にわかりやすい解説ありがとうございます…！