直線に関して対称な直線の方程式
例題
14
直線2x-y+4=0 に関して 直線x+y-3=0と対称な直線の方程
式を求めよ。
考え方 軌跡の考え方を用いて解く。 点Qが直線x+y-3=0上を動くときの, Q と直線
2x-y+4=0に関して対称な点Pの軌跡を考え, 対称な直線の方程式を求める。
解答 直線2x-y+4=0に関して 直線x+y-30 上
Y2x-y+4=0
を動く点Q(s,t) と対称な点をP (x, y) とする。
直線 PQ が直線2x-y+4=0に垂直であるから,
その傾きについて
P(x,y)
2.y-t
OM
-1
x-S
よって
s+2t=x+2y
・①
また、線分PQの中点(x+s, y1t)が直線
2
2
2x-y+4=0 上にあるから
Q(s,t)
O
x
x+y-3=0
x+s
y+t
2.
-+4=0
22
よって
2s-t=-2x+y-8
……②
-3x+4y-16
4x+3y+8
①,②から
S=-
……………③,
t=
④
5
5
215
③ ④ ⑤に代入して
また,点 Qは直線x+y-3=0上にあるから stt-3=0
-3x+4y-16 4x+3y+8
5
⑤
+.
--3=0
5
式を整理して,求める直線の方程式は
第3章 図形と方程式
x+7y-23=0
【?】 上の解答で求めた直線が, 直線2x-y+4=0 に関して直線x+y-3=0 と
対称であることを確かめよう。
