Question

りんご

三つの解の実部とはなにか、それとなぜ他の二つの解は共役な複素数になるのか教えて下さい🙇🏻‍♀️

例題 8
実数を係数とするxの3次方程式 x-√3x²+3x+a=0 の異な
[02 早稲田大]
る3つの解の実部がすべて等しいとき, α の値を求めよ。
指針 3次方程式の解と係数の関係 ax+bx+cx+d=0 (a≠0) の
d
3つの解がα, B, ya+B+y=-2,aB+By+ya=c,aby=-
a
a
⇔ax+bx+cx+d=a(x-a)(x-β)(x-y) が恒等式
解答 実数を係数とする3次方程式の異なる3つの解の実部がすべて等しいから,解
の1つは実数で,他の2つは共役な複素数である。
8603
そこで, 3つの解を s, s +ti, s-ti (s, tは実数) とおく。
s+(s+ti)+(s-ti)=√3
①から
3s=√3
③から
3次方程式の解と係数の関係により
s(s+ti) + (s+ti) (s-ti)+(s-ti)s=3
s(s+ti) (s-ti)=-a
s(s2+t2)=-a
①
.
②
③
*****..
④
②から
3s2+t2=3..
⑤
⑥
√√3
④ ⑤から
S=
t2=2
"
3
よって, ⑥ から
√3
--(1/2)--2/
a=-
3 3
7√3
+2
9

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

塾講師 「たおたん先生」

異なる３つの解が例えば5、6、7だったら
5の実部は5、6の実部は6、7の実部は7で
この場合は「異なる３つの解の実部はすべて等しい」を守れていません。

異なる３つの解が例えば5+i、5-i、7だったら
5+iの実部は5、5-iの実部は5、7の実部は7で
この場合も「異なる３つの解の実部はすべて等しい」を守れていません。

よっても「異なる３つの解の実部はすべて等しい」状況というのは、例えば異なる３つの解が5+i、5-i、5のような状態ということです。

係数がすべて実数である三次方程式の実数解と虚数解の内訳は(実数解、実数解、実数解)もしくは(実数解、虚数解、虚数解)の2択に必ずなります。

３つの解がもし(実数解、実数解、実数解)の場合は
その３つの解は「異なる３つの解」にならないといけないので、そう考えるとその３つの解の実部かすべて等しくなることはありえません。

よって問題の条件を守ろうとすると３つの解の内訳は
(実数解、虚数解、虚数解)のパターンしかありえません。

また係数がすべて実数である方程式で虚数解が答えになるときは共役な複素数のペアが必ず揃って答えに入ってきます。(答案に書くときは、その場で証明などせず「係数がすべて実数なので共役な複素数が解になる」と書いちゃってオッケーです。)

共役な複素数がペアで揃って答えになる理由は

答えが虚数になる
→二次方程式の解の公式の√の中がマイナスになる
→二次方程式の解の公式の√の前の±の関係で必ず共役な複素数のペアである

りんご

長文ありがとうございます✨
じっくり読ませて頂きます
複数の解答本当にありがとうございます