Question

ゆゆゆ

(3)がわからないので教えて頂きたいです。
解答の赤字の意味がわかりません。

実戦 79
指数方程式の解の存在範囲
(1) 2" とおくときの値のとり得る範囲は>アである。
関数f(x)=4+α2la+3 について
また, y=f(x) として,yを!の式で表すと, y + at + ウエ α+ オ
(2)yの最小値が-17 となるとき, αの値は
[カキ]
である。
(3)xの方程式 f(x)=0 が異なる2つの負の解をもつとき、定数αの値の範囲を求めると、
解答
Key 1 (1) すべての実数xに対して 2 0 であるから
また
>0
y= (2*)²+a+22.2*+11a+3=12+4at+11a+3
(2)g(t)=+4at + 1la +3 とおく。
y
となる。
[ケコ
サシ
4x = (27)* = 2x
t=0
を範囲に含まない
A
g(t)=(t+2a)-4 +11a+3 であるから
(i) 2a0 すなわち a ≧ 0 のとき
y=g(t) のグラフは右の図のようになり,g(t)
最小値をもたない。
は最小値をもたない。
11a+3
-2a
ゆえに、最小値が17 となることはない。
10
t
(ii) 2a>0 すなわち α < 0 のとき
y = g(t) のグラフは右の図のようになり,g(t)は
t = -2α のとき最小値 4² +11a+3をとる。
最小値が-17 のとき -4a²+11a+3=-17
(4a+5)(a-4) = 0 となり
a <0 より
a=--
5
4
(3) x < 0 のとき t = 2* < 20 = 1
E)-30-4a²+11a+3
-2a
10
t
4a²-11a-20=0
実戦問
関数f(x)=3
(1)
= 3 +3
3x+3=
y-
(2)の3次
となるか
x=log/
解答
Key 1
Key 1
Key
Key 1
xの方程式 f(x) = 0 が異なる2つの負の解をもつとき,tの2次方
程式 g(t) = 0 は区間 0 <t < 1 に異なる2つの実数解をもつ。この
とき, g(t)のグラフは次の図のような放物線になる。よって
(i) 放物線y=g(t) の頂点のy座標が負で
あるから4² + 11a + 3 < 0
as
43
(ii) 放物線y = g(t) の軸は t = -2a より
g(1)
0 < −2a<1
9(0) = 11a+3> 0
(0)
-2a
0
1
方程式 g(t) =0の判定
D0 としてもよい。
(iv) g(1)=15a+4>0
(i)より (a-3)(4a+1) > 0
ゆえにく
4'
1,3<a
-ds
(iv)
(ii)より
<a< 0
(iii)
2
(ii)
(Ⅲ) より
a>
Ja(iv) h a> -·
3 14 15
(
3
= -0.2727...
a
11
0
3
4
3
13
(i)~ (iv) より, 求めるαの値の範囲は
<a<
15
= -0.2666...
15

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

きぃ

まず、⑶ではxが異なる2つの負の解をもつという条件があります。
つまり、x<0に２つ解をもつということです。

ということで、⑶の解説1行目より、
t<1に解を２つもつということになります。

ここで忘れてはいけないのが、最初の⑴のt>0という条件です。

ということで、0<t<1に２つの解をもつという条件になります。

質問があればどうぞ

ゆゆゆ

また別の質問になってしまって申し訳ないのですが、二つの解を持つという条件なのに判別式D>0を用いらないのは何故でしょうか？

きぃ

(ⅰ)の頂点のy座標が正とか負とかいう条件は、
判別式D>0という条件と全く同じものとなります。

今回でいったら、頂点のy座標が負なら、必ずx軸と2点交わりますからね。

質問があればどうぞ

ゆゆゆ

確かに、、！ありがとうございます！！理解することができました！！