図のように ry 平面上に点A(a, 0) B(0, 6) をとり, 線分ABを
T1-t:tの比に内分する点をPとする. ただし, a≧0,6≧0,0<<1
であり線分ABの長さは常に1とする.
(1) 点Pの座標およびy座標をα と tで表せ
(2)点A0≦a≦1の範囲で動くとき,点Pはどのような曲線上を動くか.
(3)(2)で求めた曲線上の点P における接線が,直線ABに一致するとき,
との関係を求めよ.また,この関係を満たしながらt が 0<t<1の範囲
で動くとき, 接点はどのような曲線上を動くか.
2
b
B3
O
2
P
1-t
(3)
a
X
(名古屋市立大薬一中 / 後半省略)
アステロイドの性質
アステロイド (x3+y3=1; 媒介変数表示はx=cos 0, y=sin30) は, 長さ
1の線分がx軸,y軸上に両端点がある状態で動くときに通過する領域の境界にあらわれる. 例題を解
くと,(2)が楕円,(3)後半の曲線がアステロイドになり,両者は接する(接点は(3) 前半で求めたも
の傍注の図参照). 演習問題も同じ図になるが, ABの通過領域を求める計算をやってみよう.
12
1-02=
y
解答圜
(1)AB=1より6=√1-a2 であるから,P(ta, (1-t)/1-a²)
YA
(BB
(2)=ta, y=(1-t) 1-α からαを消去すると,
(0-1)+(
P
2
y²
2
+
-=1
0-2-
1-t
t² (1-t)2
1-t
抹香
y2
(3)楕円 +
+2 (1-t)2
=1上のP(ta, (1-t) √1-α2) における接線は,
t
1-t
-S)
1-
ta
(1-t)√1-a2
a
y = 1 すなわち
-x+
(1-t)2
t
√1-a2
1-t
-y=1である.
楕円の接線の公式.
I
一方, 直線AB は
y
+
=1だから, 両者が一致するとき,
(+)
a
√1-a2
AO
a
1
1-a2
-=-
かつ
: a=√t
ta
1-t
√1-a2
a=√f のとき,P(x,y)=(t√t, (1-t)√1-t) となるから,
3
3
x=tz,y=(1-t) 2
23
を消して,y=(1-x)2
2
2
∴. x3+y=1
(+)+s
←第2式からは1-4²=1-t
■(2)と(3) を重ねて描くと
YA
1
2
-SD-S
1-t
2
-x³+y³=
3=1
P(+², (1-+)²) A
4 演題 (解答は p.90)
0
t
1 IC
