Question

あ

(ア)ではa,b,cが互いに異なるか確認するのに(イ)では確認しないのはなぜですか？

河文重
1 比例式
btc_cta
a+b
互いに異なる実数 α, b, c が,
a
b
を満たすとき,
C
対称
決め
(b+c)(c+a)(a+b)
abc
の値を求めよ. ただし, abc≠0 とする.
(立教大)
a+b
割
で習
解答
==
b+c c+a_a+b=kとおくと,
a
b
C
比例式は「=k」 とおく. 分母を払った
りしない
の
b+c=ak
…①
c+a=bk
対称性を生かして処理していく
a+b=ck
..③
①+②+③ より
実
2(a+b+c)=k(a+b+c)
(ア)a+b+c≠0のとき,④から,
・④
k=2と決めつけない!
2(a+b+c)
k=-
-=2
a+b+c
このとき,①,②、③は,
b+c=2a
5
a+b+c=0 であるから,④の両辺を a+b+c
で割って整理することができる.
a+b+c=0 の場合はこのような変形はでき
ないので、その場合を(イ)で考えている
c+a=26
(6)
a+b=2c
・⑦
となるが, ⑤⑥より,
k=2のとき, α, b, c が互いに異なる実数で
あるかの確認が必要である
b-a=2a-26
... a= b
これは, a, b, c が互いに異なることに反する。
(イ)a+b+c=0 のとき,b+c=-αであるから, ①より,
k=-
b+c===-1
a
a
abc≠0より、 「α≠ 0 かつ6≠0 かつc≠0]
である
このとき, ① ② ③より,
(b+c)(c+a)(a+b)_ak.bk.ck=k=1
abc
(ア)(イ)より,
(b+c)(c+a)(a+b)
abc
== -1
abc
解説講義
a+b+c=0を満たす互いに異なる実数α, 6,
cは必ず存在する (たとえば, α=1,6=2,
\c=-3) から, (ア)のような確認の作業は不
要である

Answer 1

momo

右下の解説のように、互いに異なるa,b,cが存在するときが絶対にあるからです。
(ア)→a,b,cは必ず同じ値でなければ成り立たない
(イ)→a,b,cは同じ値をとる時も取らない時も成り立つ

momo

(ア)⑤⑥⑦の連立方程式はabcが同じ値でなければ成り立たない
(イ)abck^3/abcという式なので、abcが取り消せるのでどんな数字の組み合わせでもいいという感じです。(ただしabc≠0)

あ

(ア)のときabcが同じ値でないと成り立たないとはどういうことでしょうか

あ

a,b,cが全て異なる実数でもa+b+cは0でない数になりませんか？

momo

(ア)のときabcが同じ値でないと成り立たないとはどういうことでしょうか
→a+b+c≠0のとき、a=b=cとなることが(ア)の⑤⑥⑦の連立方程式から分かります。
······▸「a,b,cが同じ値」は問題文の条件に当てはまらないから❌
逆にa,b,cが異なる値では(ア)の条件は満たせない(⑤⑥⑦より)から❌

a,b,cが全て異なる実数でもa+b+cは0でない数になりませんか？
→そうです。足しても0でない数の組み合わせ(例:2,3,6)も、0になる組み合わせ(例:5,6,-11)も存在します。ですが前提として、今の条件(イの条件)は「足して0になる」なので、足して0になるとこれに当てはまらないので棄却します。
······▸(イ)の解説の通り、足すと0になり、かつ互いに異なる値が存在する(問題文の条件)ので⭕️