外
基本 例題 216
曲線と接線で囲まれた部分の面積
339
(1)点Aにおける接線 l の方程式を求めよ。
曲線 y=-x+5x 上に点A(-1, -4) をとる。
00000
(2) 曲線 y=-x3+5x と接線l で囲まれた部分の面積Sを求めよ。
CHART & SOLUTION
(2)まず,3次曲線と接線の共有点のx座標を求める。
基本 214 215
3次曲線y=f(x)(x3の係数がα) と直線y=g(x) がx=αで接するとき,
f(x)-g(x)=a(x-a)(x-B)が成り立つ。
(ここで,βは y=f(x) と y=g(x) の接点以外の共有点のx座標)
解答
(1)y'=-3x2+5 であるから, 接線 l の方程式は
y-(-4)={-3(-1)^+5}{x-(-1)}
すなわち y=2x-2
(2) 曲線と接線 l の共有点のx座標は,方程式
-x+5x=2x-2 すなわち x-3x2=0の解である。
ゆえに (x+1)(x-2)=0
よって
x=-1,2
ゆえに、図から求める面積Sは
YA
s=S_{(-x+5x)-(2x-2)}dx
曲線と接線 l は x=-1
で接する (重解をもつ)
から (x+1)2 を因数に
もつ。よって,
x3-3x-2
=(x+1)(x+α)
=S(-x+3x+2)dx
4 3
+=x2+2x
=
4 2
72 27
4
-1
-10
2
とおけ、定数項を比較し
x
ってa=-2
7章
1
A
25
