Question

あいる

n＜=Kと仮定しなければならない理由が読んでもよく分からないです。

重要 例題 61 n≦k の仮定
数列{an} (ただしan> 0) について,関係式
(a+az+......+an)=a3+a2+....+α
が成り立つとき, an=nであることを証明せよ。
指針 自然数nの問題であるから、数学的帰納法で証明する。
「n=kのときan=n が成り立つ」 と仮定した場合, a1=k-1,-2=k-2,
***** ・
成り立つことを仮定していないこととなり, n=k+1のときについての次の等式 A が
作れなくなってしまう。
(1+2+......+k+ax+1)=1+2+......+k+α+13
******
したがって,nkの仮定が必要となる。 そこで, 次の [1], [2] を示す数学的帰納法
を利用する。 下の検討も参照。
[1] n=1のとき成り立つ。
[2] n≦kのとき成り立つと仮定すると, n=k+1のときも成り立つ。
CHART 数学的帰納法 n≦k で成立を仮定する場合あり

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

和

実際、数学的帰納法による証明を書き進めていったら
n≦kのときを仮定しないと無理、
ということに気づくからです
読むだけじゃなくて手を動かさないと…

★n=1のとき……a₁²=a₁³のときa₁=1だから確かにaₙ=n

★n=2のとき……(a₁+a₂)²=a₁³+a₂³のとき、
a₁=1を前提にすると(1+a₂)²=1+a₂³ ∴2a₂+a₂²=a₂³
これよりa₂=2だから確かにaₙ=n

→n=1のときaₙ=nという仮定から、
　n=2のときaₙ=nといえる

★n=3のとき……(a₁+a₂+a₃)²=a₁³+a₂³+a₃³のとき、
a₂=2を前提にするだけでは
a₁が残ってa₃=3がいえなくないか？
と思って進めると、やはり進まない
ここはやはりa₁=1もa₂=2も仮定しなくては…

ということです
つまり、n=1,2,3,…kを仮定しないと、
次のn=k+1のことはいえない
なぜならn=k+1のときの式には、
n=1,2,3,…,kのすべてが出てくるので、
それらすべての情報が必要になるから