Question

yyy

矢印のところの式の変形が分かりません。
解説をお願いします🙇‍♀️

8/7+
〈例題31>
(1) (a + 1) の展開式を求めてください。
(2)(1)を用いて, 6-1は5の倍数であることを示してください.
i+1
(3) 任意の自然数nに対して, 「65-1 は 5" の倍数である」 が成立することを数学的帰
納法を用いて証明してください。
(1) (a+1) 5
=sCoa°+sCia'+6Cza+sCa2+5C,a +55 1
= a+5a+10a³+10a²+5a+1
二項定理
(a+b)"=„C₁a"+C₁a”¯¹b+„C₂a”
-Ca***
+...+C₂ b
(2)65-1= (5+1)-1
=55+5・5+10・5°+10・52+5・5+1 -1
=5°(5+5°+10・5+10+1)
よって65-1 は 52 の倍数である.
(3)65-1は5+1 の倍数であることを数学的帰納法で示す.
n=1のとき61は(2)の結果より 5の倍数である.
よって成立する.
n=kのとき65-1=5+1l (lは整数) が成立すると仮定する.
65+1_1654.5-1
= (5*+1+1)5-11
(5+15+5(5+11)+10(5+1)+10(5+11)2+5(5k+1) +1-1
=5k+2(54k+35+53k+34+10.52k+13+10.5ki2+L)
n=k+1のとき成立する.
よって、数学的帰納法より, すべての自然数nに対して,
「65-1は5+1 の倍数である」ことは成立する.
-80-

8/7(1)△(2)
<例題 32〉
(1)n≧4の自然数nについて
354"
不等式
64 n
- 2C を証明せよ。
35 4"
(2)n=49のとき,
64 √n
は10進法で何けたの数となるか. ただし, 常用対数10g 2に
ついて, 0.3010 < log2 < 0.3011 を用いよ.
35 4"
(1)
2C(*)
64 √n
35 44
n=4のとき,左辺
64 √4
0108.0x re+1<
35.28
26.2
=70
右辺 = 8 CA
8-7-6-5
4･3･2･1
=70
よって, n=4のとき(*)は成立する.
188.80-
101-01-01)
11080×101>
1008>
2k Ch が成立すると仮定する .
135 4*
n=kのとき
64 √k
35 4k+1
2(k+1) Ch+1
64 √k+1
35 4k+1
100 =>
(2643)
01),
201
101 87659827
4321.4121
TOL
(2k+2)!
(k+1)! (k+1)! 64 k+1
(2k)! (2k+2) (2k+1) 35 4k+1
k!k!
= 2kCk.
(k+1)2
2 (2k+1) 35
64 √k+1
4k+1
k+1 64 √k+1
2(2k+1) 35 4k+1
35
4k
64 √k
k+1
64 √k+1
35
64
35
4*.2.
64
35
1
4.2.
4k
2 (2k+1)
4
√k (k+1) vk+1
2k+1-2vk(k+1)
√k (k+1)
(2k+1)2-4k(k+1)
通分
64
vk(k+1)
2k+1+2vk(k+1)
-81-
有理化
5k+5
k+2
4K+3

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

和

指数法則からaˣʸ=(aˣ)ʸなので
6^(5ᵏ×5) -1
=(6^5ᵏ)⁵ -1
仮定から、6^5ᵏは5ᵏ⁺¹L+1なので
=(5ᵏ⁺¹L+1)⁵ -1
です

yyy

ありがとうございます！
2個目の方も教えていただきたいです🙇‍♂️🙇‍♂️

和

見逃していました

後半は変わっていないので、前半だけ

分子
(2k+2)!は(2k+2)(2k+1)2k(2k-1)……3×2×1なのだから
(2k+2)! = (2k+2)(2k+1)(2k)!

分母
(k+1)!は(k+1)k(k-1)(k-2)……3×2×1なのだから
(k+1)!(k+1)! = (k+1)k!(k+1)k! =(k+1)²k!k!

yyy

ありがとうございます🙇‍♀️