数学Ⅱ
α+β_m+1
②
X=
2
2
また,Pは直線上の点であるから
y=mm
-1)-1
m²-m-2
③
2
②から
m=2x-1 ...... ④
③に代入して整理すると y=2x2-3x
また,(1)の結果と④から
2x-1<-1, 3<2x-1
ゆえに
x<0.2<x
よって、求める軌跡は
放物線y=2x3xの
x0, 2<xの部分
ya
つなぎの文字
去。
(1)① ② からyを消去すると
a-Bx=
2
a2-B2
βであるから
これを①に代入して
数学Ⅱ
-97
(2)
すなわち
a-B
2
x=
(a+B)(α-B)
4
x=A+B
M
2
R
aa+B Q2 aẞ
2
2
4
よって、点Pの座標は
2
(a+h, as)
x
aẞ
③から
-1
(1)
←y 座標が定数, x座標
3章
α+B は任意の実数。
練習
ゆえに
y=-1 ④
逆に、④が成り立つとき,α, βを2解とする 2次方程式
[図形と方程式]
練習 放物線y=-
4
@114
線の交点をP, 線分 QR の中点をMとする。
上の点 Q R は, それぞれの点における接線が直交するように動く。この
P-2xt-40の判別式を D' とすると
D
=(-x)-1-(-4)=x2+4
よって
D'> 0
(1)点Pの軌跡を求めよ。
(2)点Mの軌跡を求めよ。
類
よって、任意のxに対して実数α, B (αキβ) が存在する。
直線 y=-1
したがって, 点Pの軌跡は
← 逆も成り立つ。
点Qの座標をα,
点の座標 (24)
(2) M(x, y) とすると
(ただしαキβ) とする。
a+B
......
点Qにおける接線でx軸に垂直なものはないから, 接線の傾
とすると,その方程式は
x=
2
④,y= 1/2(+2)
⑤
④から
α+β=2x ...... ⑥
y=(xa) すなわち y=m(x-a)+-
Q2
a2+B2 (α+B)22aB
これと立してx-a)+o
←点(x1,y) を通り
きの直線の方程式
y-y=m(x-x)
⑤から
y= 8
8
これに ③ ⑥ を代入して
(2x)'-2(-4)_x2
整理すると x2-4mx+4ma-α2=0
y=
+1
←つなぎの文字α, β を
消去して, x, yの関係式
を導く。
8
2
したがって, 点Mの軌跡は
放物線y=
+1
2
この2次方程式の判別式をDとすると
=(−2m)²−1·(4ma-a²)
=4m²-4ma+α²=(2m-α) 2
接するとき, D=0であるから (2m-a)²=0
よってm=1
[参考]「微分法」(第6章)を用いると,y=
x2
から y' =
x
2
よって,点 Q における接線の傾きは であるから、接線の
方程式は
したがって,点Qにおける接線の方程式は
y=1/2(xa) すなわち y=
4
a
←①が導かれた。
4
①
この2接線が直交するから 01/10/2=
同様に,点R における接線の方程式は y=!
a B
同様に,本冊 p. 181 重要例題 114 において, y=x2 のとき
y'=2x
8-2
B2
21
4
② ←点Rにおける接線に
すなわち
22=-1
ついてもまったく同様
あるから
したがって、点P (p, p2) における接線の傾きは2p である
から 接線の方程式は
y-p²=2p(x-p)
5 y=2px-p²
aβ=-4 ......
におき換えるだけでよい
のように簡単に求めることができる。
I Aor
