Question

Nan

緑線のところがよく分かりません
解説お願いします

例題 139
球と接する立体
****
右の図のように、底面の一辺が長さ2の正方形, 側面
の4つの三角形がすべて二等辺三角形である正四角錐
D
S1
C
OABCD がある.また, 球 S, はこの正四角錐の5つのSa
面と接し, 球S2はこの正四角錐の4つの面と球Sに
接している. 球SとS2の半径の比が2:1 のとき,
正四角錐 OABCD の高さを求めよ。
出
TAM
B
考え方 辺 AD, BC の中点をそれぞれ M, Nとし,平面 OMN で切った切断面を考える.
解答 球 S1 S2 の中心をそれぞれP, Q とし.
0
半径をそれぞれ, 2 とする.
また 辺 AD, BC の中点をそれぞれ M.
Nとし, この正四角錐 OABCD を平面
12
高さ OH を含み、球
L
と正四角錐の接点を
円
OMNで切ったときの切断面を考え,球 S1,
S2 と辺OM の接点をそれぞれK, Lとし,
球 S1 と辺 MN の接点をHとする.
P
通る平面 OMN で切
ると考えやすい.
第4
球 S と S2 の半径の比は 2:1より,
M
H
N
r1=22
また△OPK∽△OQL であり,相似比は 2:1LQ
よって, |OQ=PQ=ntr2=2r2+r2=3/2
r2
QL
12
1
また. <QOL=0 とおくと. sin0=
=
OQ 3r2 3
KriP
2√2
ここで,0°<B<90° より, cos> 0 だから,
cos =
sin20+cos20=1
3
sine 1
M
したがって,
tan 0=
=
cos
A
2√2
0
また,
MH==MN=
-1/2MN=1/2AB=1
2√21
MH
1
MH
=2√2
tan0=
よって,
OH=
OH
tan 0
1
2√2