Question

Komaru

マーカーの部分で、直線と放物線が常に異なる2点で交わると言えるのはなぜですか？直線の切片がマイナスにならないのはどうしてですか？教えて下さい🙇‍♀️

(
例題 261
面積の最大・最小 (1)
★★★☆☆
点 (1,2)を通る傾きの直線と放物線y=x2 で囲まれる部分の面積をSとす
〔類 京都大〕
る。 Sの最小値を求めよ。
例題 250
指針点 (1,2)を通る傾きの直線の方程式は
y=m(x-1)+2
これと放物線y=x2 で囲まれる図形の面積は
CHARTS(x-α) (x-3)dx=-1 (B-α) を活用
10
Sはm で表されるから,その最小値を求める。
解答 点 (1,2)を通る傾きの直線の方程式は
y=m(x-1)+2
図から,この直線と放物線 y=x2 は, 常に異なる2点
で交わる。 交点のx座標は
x2=m(x-1)+2
すなわち x2-mx+m-2=0
......
①
ya
y=x21
(1,2)
S
a
0
B
の実数解であるから,その解をα,β(a<B) とすると
S=${m(x-1)+2-x2}dx=-f(x2-mx+m-2)dx
=-S(xa)(x-B)dx=1/2(B-α)
ここで,①より, 解と係数の関係から
よって
ゆえに
a+β=m, aβ=m-2
(B-α)2=(a+B)2-4aß=m²-4(m-2)=(m-2)^+4
S={(B-a)}=((m-2)²+4}
3
42=
3
したがって,Sはm=2 で最小値 1/12 1/43 08040

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

Q&A専

この解説では直感的に分かりやすいから、(1,2)を通る直線を描いた時に必ずy=x^2と2点で交わる事を言ってる(実際に書いてみたら分かる)。

数学的に説明するには写真のように、交点のx座標を求める方程式からその判別式が0より大きい(異なる2つの解を持つ)ことを確認すれば分かる。

直線の切片については、y=m(x-1)+2の式を整理してあげたらy=mx+2-mなので、mが大きければ負にもなる。

Komaru

ありがとうございます。理解できました🙏