Question

けんた

極限の問題です。
この赤丸の部分はどうやったら出るのでしょうか？

Think
例題14
はさみ
x
次の問いに答えよ.
を求めよ.
(1) 極限値lim n
mk(k+1)
00
(2) 極限値 limon²
00
2月
(2k-1)(2k+1).
2n
(3)(12)の結果を利用して、極限値 lim (12/21)
k+1}
を求めよ.
11-0
を求めよ.
(東京理科大
1
考え方 (1)
k(k+1) kk+1
wwwwww
と部分分数に分解して考える.
(2)
(2k-1)(2k+1)
122
2k-1
2k+1/
と部分分数に分解して考える.
(3) は(1)のように部分分数に分解することはできない
(1)の結果を利用することを考えると,3つの極限値は,
2月
lim nΣ-
1178
1
in (kの多項式)]
という式になっている.
1
そこで,
k≧1 のとき,
(k+1)' (2k-1)(2k+1)'k2
の分母に着目するとでる
LE
SI
mi
1130
0
k(k+1)=k+k>k
(2k-1)(2k+1)=4k²-1<4k
であるから,
0<—(4k²−1) <k² <k²+k
という大小関係であることがわかる.
すなわち, 01 (2k-1)(2k+1kkk+1)より.
辺々の逆数をとると
4
0<-
k-1) (2k
k(k+1)k(2k-1)(2k+1)
という関係を導くことができる.
この関係式と (1) で求めた極限値を利用する.
tim

(3)≧1より0
(3) k≧1 より 0-(4-1) <k <k+k が成り立つから,
4,
k²+kk
k(k+1)k2
(2k-1)(2k+1)
右の図
1
4
4k²-1'
E+
4
つまり、
2n1
2n
2n
よって,
n
kink(k+1)
2n
4
また.n
k=nk2
=4⋅nΣ-
2n
<n<nΣ(2k-1)(2k+1)
4
②②
1
より
k=w (2k-1)(2k+1) k=w (2k-1)(2k+1)
(1)(2)の結果を用いると
2n
4
lim nΣ
+0
1
(3)
n→∞
=4
k=w (2k-1)(2k+1). 82
よって、 ① ② ③とはさみうちの原理より,
lim n
→∞
2n 1
k=n
k2
-
2

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

こんぱち

k^2,k^2+k,4k^2-1の大小比較をしたいからですね。
まず、k^2と4k^2-1だと比べづらいので
k^2を4倍して比較しています。

そのあとk^2+kと4k^2-1を比較するのに、4k^2-1<4k^2
を利用するには4k^2をk^2にしたいので今度は4で割っています。

そうすることでk^2,k^2+k,4k^2-1(の代わりに1/4(4k^2-1)）が比較できるわけですね。
なお、係数の1/4は極限の計算には影響しないのでつけておいても問題ないわけです。

けんた

理解できました！