Question

あああの

この問題で剰余で分類する利点はなんですか？教えてください。

[
332/ 第9章 整数の性質
練習問題 5
aを整数とする.
(1) n2+nは2の倍数であることを示せ.
(2)2-2は3の倍数でないことを示せ.
(3)2 +62が3の倍数ならば, α, 6はともに3の倍数であることを示せ
精講
整数についての命題を証明するときに、剰余で分類することが有効
なときがあります.(1)ではnを2で割った余り(つまり偶数と奇数)
に,(2)ではnを3で割った余りに注目して場合分けしてみましょう (3) は直接
証明することが難しいので, 「対偶」 (p259 参照) に注目してみましょう.
解答
(1) N=n2+n とおく.nを 「2で割った余り」で分類すると
n=2k または n=2k+1
である (h は整数).
(ア) n=2k のとき,
N=(2k)2+2k=4k²+2k=2(2k2+k)
2k2+k は整数なので,Nは2の倍数である.
(イ) n=2k+1 のとき,
N=(2k+1)+(2k+1)=4k²+6k+2=2(2k²+3k+1)
2k2+3k+1 は整数なので,Nは2の倍数である.
(ア)(イ)より,すべての整数nでNは2の倍数であることが示せた.
コメント
無数にある整数に対する命題が、たった数個の場合を調べるだけで証明でき
てしまえるというのが,剰余で分類する手法の強力なところです.
(2)M=n2-2 とおく. nを 「3で割った余り」で分類すると
n=3k または n=3k+1 または n=3k+2
である (kは整数).
(ア) n=3k のとき,
M=(3k)-2=9k2-2=3(3k²-1)+1
3k²-1 は整数なので,Mは3で割って1余る数である.
(イ)n=3k+1 のとき,

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

じょなま

ひとつひとつの整数に対して2、3の倍数かどうか確かめるのは無謀なので、余剰で分類することで2で割った時なら2パターン、3で割った時なら3パターンで整数を表すことができ、証明が楽になります

あああの

なるほど！
理解出来ました！
ありがとうございます💖