336 第6章 場合の数
Think
例題 164
整数を作る問題(2)
012345 から異なる3つの数字を選んで3桁の整数を作るとき,
異なる整数の和はいくつになるか.
[考え方 3桁の数は,百, 十, 一の位の数を a, b, c とすると, 100α+106 + c と表すことがで
きる.
たとえば, 123 の場合,
100×1+10×2+3
と表すことができる. このことから,
各位で0~5の数は何回使われているか
を考えてみる.
百の位が1となる3
桁の整数は,右のよ
うに20個あるから,
百の位で「1」は20
回使われている. 同
様に, 2, 3, 4, 5も百
の位では20回使われ
ている.
1-0 回
1-2
1-3
回
1-4k
回
1-5< 3回
245
このことから,百の位だけに着目すると,
100 + … +100 +200+ … + 200+
300+ … +300+400+ +400+500+ +500
20個
20個
20個
= 100×20+200×20+300×20+ 400×20 +500 ×20
20個
20個
=100×(1+2+3+4+5)×20
となる. 十の位,一の位も同様に考える.
解答 12345からはじまる数はそれぞれ,
1×5×4=20 (個) ずつある.
回
よって, 百の位には1~5の数字が各20回ずつ現れる.
十の位には, 0の数字が合計20回,
1~5の数字が各16回
ずつ現れる。 一の位も十の位と同様である.
したがって,
100×(1+2+3+4+5)×20 百の位」
M
+ 10×(1+2+3+4+5)×16... 十の位
M
+1×(1+2+3+4+5)×16......一の位
=(1+2+3+4+5)×(2000+160+16)
=15×2176=32640
よって, 求める和は, 32640
百の位が1の場合,
十の位に2が現れる
のは4回 百の位が
345 も同様に, 十
の位に2が現れるの
は4回なので,合計
16 回
0 は省略している.
