基本 例題 82
共線条件、共点条件
(1) 3点A(-2,3), B(1,2), C(3a+4, 2a+2) が一直線上にあるとき 定数
α の値を求めよ。
a
(2) 3直線4x+3y-24=0
ax+y+2=0
......
①, x-2y+5=0
②,
③が1点で交わるとき、定数αの値を求めよ。
指針 (1) 異なる3点が一直線上にある(共線)
⇒2点を通る直線上に第3の点がある
解答
点Cが直線AB上にあると考える。 よって,まず,直線
ABの方程式を求める。
(2)異なる3直線が1点で交わる (共点)
2直線の交点を第3の直線が通る
2直線①②の交点の座標を求め,これを③に代入する。
(1) 2点A,Bを通る直線の方程式は
y-3-1-(2)(x-(-2))
すなわち x+3y-7=0
基本 76
重要 83
▼ 「BC上に A がある」 また
は 「AC上に B がある」 で
もよいが、計算がらくにな
る場合を選ぶ。
直線AB上に点Cがあるための条件は
1
3a+4+3(-2a+2)-7=0
ゆえに
-3a+3=0
よって a=1
A
直線AB上にC
別解 -2=3a+4 すなわち α = -2のとき, 直線ACの方程式
は, x=-2となる。
点Bは直線x=-2上にないから, αキー2である。
AB の傾きと直線ACの傾きは等しいから
2-3
=
α-2として3点 A, B, C が一直線上にあるとき, 直線
ゆえに
よって
a=1
1-(-2) 3a+4-(-2)
3a+6=3(2a+1)
-2a+2-3 すなわち 1/32-34+6
2a+1
これはαキー2を満たす。
ABの傾き=ACの傾き
を利用する解法。 ただし、
この考え方はx軸に垂直
な直線には通用しないから
その吟味が必要。
なお、似た考え方をベクト
ル(数学B)で学ぶ。
交点の座標を求める2直
ありがとうございます、①の式は、×3しているかしていないかの違いですよね？（元の答えと）