Question

YC

求解第1題、第4題、第5題、第6題

4. 化簡/10-2/6-2/10+2/15=
**: √5+√3-√2
5. 設 a,b,c為三角形三邊長,且a+b+c²=3abc,則此三角形是何種三角形?
答案:正三角形
6.設一正數a的小數部分為6,且滿足²+3b²=11,則a=
3+2/2 - 9+~17
答案:
或
2
4

二、進階題:
2
xH1 (1+x)(1+x)=1+2+
1. 設0<x<1,求f(x)=(1-x)(1+x)'最大值為
,此時x=
27 1
答案:
16 2
3
Z.
12.5.
3. 3.
2. 若Q= 5+7+II,b=22+17+v14,c=2+10+vī,大小關係為M2C2h。
答案:a>c>b
1. 2. 2."
2. z.
3. 設a=v2+6+7,b=3+4+18,c=355,則大小關係為C2b2a.
答案:c>b>a 5.
5...
4. 化簡 √ 10-26-2/10+2V/15
答案: 15+13-12
°
==
5.設a,b,c為三角形三邊長,且a+b+c²=3abc,則此三角形是何種三角形?
答案:正三角形
6.設一正數a的小數部分為

Answer 1

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qn

1.
[3(1-x)] (1+x) (1+x) (1+x)
≤ { [ 3(1-x) + (1+x) + (1+x) + (1+x) ] / 4 }⁴
= { 6/4 }⁴
= (3/2)⁴
= 3⁴/2⁴

(1-x)(1+x)³ ≤ 3³/2⁴ = 27/16
等號成立時 3(1-x) = 1+x
⇒ x = 1/2

4.
(a+b+c)² = a²+b²+c² + 2(ab+bc+ca)
令 a²+b²+c² = 10
ab = -√6
bc = -√10
ca = √15
a² = √6·√15 / √10 = 3
同理 b² = 2 , c² = 5
(恰好滿足 a²+b²+c² = 10)
考慮 ab, bc, ca 的正負，湊出 a=√3 , b=-√2 , c=√5
故 10 - 2√6 - 2√10 + 2√15 = (√3-√2+√5)²
因此所求即為 |√3 - √2 + √5| = √5 + √3 - √2

5.
a³+b³+c³-3abc = (a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca) = 0
但 a+b+c > 0
所以 a²+b²+c²-ab-bc-ca = 0
⇒ ½[ (a-b)² + (b-c)² + (c-a)² ] = 0
⇒ (a-b)² + (b-c)² + (c-a)² = 0
⇒ a = b = c
故其為正三角形

6.
a² = 11-3b²
0 < b² < 1
0 < 3b² < 3
8 < 11-3b² < 11
8 < a² < 11
故 a 的整數部分為 2 或 3

(1) a = 2+b ⇔ b = a-2
a² + 3(a-2)² = 11
4a² - 12a + 1 = 0
a = (12 ± √(144-16))/8
= (12 ± √128)/8
= (12 ± 8√2)/8
= (3 ± 2√2)/2
但 a ≥ 2，故 a = (3+√2)/2

(2) a = 3+b ⇔ b = a-3
a² + 3(a-3)² = 11
4a² - 18a + 16 = 0
2a² - 9a + 8 = 0
a = (9 ± √(81-64))/4
= (9 ± √17)/4
但 a ≥ 3，故 a = (9+√17)/4