Question

YuNa

NEW ACTION LEGENDの練習199です。

模範解答では
log(y)x = 1/log(x)y ...①
と変形してから求めていますが、私は
log(y)x = 1/log(y)x ...②
と変形して求めました。
そもそも例題の証明を見ながら解いた上に、イマイチ理解していない部分があったので間違えてしまいました。
②で解くことはできるのでしょうか。
証明をして頂けると嬉しいです。

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練習 199 不等式 logxy-logyx-1<0 を満たす点 (x, y) が存在する領域を図示せよ。
底の条件より
x>0,x≠1,y> 0, y ≠ 1
真数は正であるから
y>0, x2 >0
よって
x>0,x≠1,y > 0, y ≠1
1
logy x
=
であるから,与式は
logx y
logxy
2
logx y
-1<0
..①
(ア) logxy > 0 ... ② のとき
x>1
すなわち
ly>1
③または
f0<x<1
10<y<1
・④
①の両辺に 10gxy を掛けると
(logxy)2-10gxy-2 < 0
(logxy-2) (1logxy+1) <0 より
-1 <logxy<2
② より 0 <logxy < 2
すなわち
logx1 <logxy<10gxx2
(i) ③ を満たすとき ⑤ より
5
1<y<x2
(ii) ④を満たすとき ⑤より
1 > y > x2
(イ) logxy <0... ⑥ のとき
すなわち
Jx>1
10<y<1
①の両辺に 10gxyを掛けると
(logxy)2-logx y-2 > 0
...
⑦ または
J0 <x< 1
ly>1
⑧
(logxy-2) (logxy+1) > 0 より
logxy <-1,2<logxy
⑥ より
logx y <-1
すなわち
1
logxy<logx
x
(i) ⑦を満たすとき⑨より
1
0<y<
x
logxyだけで与式を
底はx(1) より, 不
号の向きは変わらない
底はx(<1)より、利
号の向きが変わる。
●底はx(>1)より、
号の向きは変わらない

な
(注)⑧を満たすとき⑨より
1
y>-
x=1y=x2
より、求める領域は、 右の図の斜線部
x
の向きが変わる。
底は x <1 より 不等号
分である
ただし、境界線は含まない。
(K)(ii)
(ア) (i)
1
x (7)(ii)-
x
(イ) (i)

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Answer 1

Arctic Wolf

解答失礼します

基本的な所ですが、模範解答の底の変換公式では
log(y)x=1/log(x)yとできますが、

log(y)x=1/log(y)xにはできませんよ
なので②では解けないと思います

YuNa

すみません。打ち間違えてました。
log(x)y =1/log(y)xです。

Arctic Wolf

なるほど分かりました、
それで一応やってみたら、写真の解答と同じようになりました
xとyで一瞬混乱しましたが、何とかなったみたいです