Question

ぽぽ

二次関数の最大と最小に関する問題です。
最大値を求めるときと最小値を求めるときでaと比べる範囲(説明下手でごめんなさい。黄色い線の部分です)が変わるのはなぜですか？

100 第2章 2次関数
Think
例題42
軸が動くときの最大・最小
****
(2)(1)
大
関数 y=x-2ax+4 (0≦x≦3) について, 次の問いに答えよ。
(2) 最大値を求めよ.
(1) 最小値を求めよ.
グラフは右の図のようになる。
x=3のとき最大となり
最大値 -6α+13
考え方 グラフをかいて考える。 ここでは下に凸のグラフになっている。
定義域と軸の位置関係で場合分けをする。
(1) 最小値は、軸が定義域内にあるときは頂点で,
定義域の外にあるときは右端か左端でとる.
(2)最大値は,定義域の左端か右端でとるが,こ
こでも定義域の中央に軸があるときに着目
する.
つまり、軸 x=a が 定義域 0≦x≦3 の中央
x=1212 と一致する a=
a=22 のとき,右上の図
のように左端と右端の値が等しくなって
解答 y=x-2ax+4=(x-a)-α'+4
グラフは下に凸で, 軸は直線 x=a
(1) (1) 0 のとき
グラフは右の図のようになり、
軸は定義域より左側にある.
x=0 のとき最小となり
最小値 4
(ii) Ola
のとき
グラフは右の図のようになり、
軸は定義域内にある.
x=q のとき最小となり,
最小値 +4
(i)のとき
グラフは右の図のようになり
軸は定義域より右側にある。
x=3のとき最小となり
最小値 6α+13
よって, (i)~()より。
(!!)
0a3
2 2次関数の最大・最小 101
軸が定義の中央よ
最大
グラフは右の図のようになる。
最
最大
最大
x=0, 3 のとき最大となり,
最大値 4
13
(ii) >とき
最大
グラフは右の図のようになる。
x=0 のとき最大となり
最大値 4
最大
よって, (i)(ii)より
0 3 a 3
| a< 2/2 のとき,最大値-6a+13(x=3)
左にあるか右にお
るかで場合分けする。
x=0 と x=3 では
x=3の方が軸から
遠い。
a=1/2 のとき,最大値 4(x=0,3)
03
最小
軸の位置で場合分け
軸が定義域内にあれ
ば、下に凸より頂点
で最小 軸が定義域
からはずれる場合、
左端か右端で最小
つまり、全部で3
りの場合分けとなる。
等号は境目のどちら
につけておいてもよ
a>
4>212 のとき,最大値 4(x=0)
Focus
最大・最小は定義域と軸の位置関係, グラフの対称性に注目
注> 例題 42 において, 最大値と最小値をまとめると次のようになる。
(i) 0≤a<-
(i) a<0
(
a
(iv)
<a≤3
(v) a>3
最大
最大
[最大]
最大)
最大
い
0a3
最小
最小
最小
最小
043 3
0 3 3
4 0 3
0
3
0 3 a
2
3 a
最大値-6g+13 最大値 -6a+13 最大値 4
(x=3)
(x=3)
最小値 4 (x=0) 最小値 +4
(x=a)
最大値 4
最大値 4
(x=0.3)
最小値 7
(x=0)
(x=0)
最小値 +4 最小値 -6g+13
(x=a)
(x=3)
(x-2)
a<0 のとき,
最小値 4 (x=0)
練習
0≦a≦3 のとき, 最小値 -α+4 (x=α)
42
a3のとき
最小値 6α+13 (x=3)
***
(1) 関数 y=-x+4ax+4(0≦x≦4) について, 次の問いに答えよ.
(ア) 最大値を求めよ.
(イ) 最小値を求めよ.
(2) 関数 y=x+2ax-30≦x≦2) について, 最大値および最小値を求めよ.
p.107回
章

二次関数 最大、最小 動く軸

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

なゆた

下に凸のグラフの場合
最小値は頂点が入るか入らないか、で場合分け
最大値は変域の真ん中が軸と一致するときを基準にして
左に長いか、右に長いか、で場合分け

するので、見る基準が変わるから、かな

ぽぽ

ありがとうございます！！
とてもわかりやすかったです♪

ぽぽ

何度もごめんなさい🙇‍♀️
この問題が上に凸だった場合、どのように考えれば良いですか？

なゆた

大小反対で。

ぽぽ

本当にありがとうございます😭