Question

高校生

数IIの問題です。498で、なぜ、黒四角で囲った式の場合は考えなくて良いのは、明らかに、面積が大きくなってしまうからですか？違ってたら、教えて欲しいです。

Z*498 曲線 y=x2 上の点P(t, f2) (0<<1)における接線とこの曲線および
2直線 x=0, x=1で囲まれた2つの部分の面積の和をS(t) とする。
tが 0<t<1 の範囲を動くとき, S (t) の最小値を求めよ。
=mx で囲まれた部分の面積Sが最小と
11

146クリアー 数学Ⅱ
497 xx2=ax-1) とすると
x2(x-1)-02(x-1)=0
1
したがって,S(t) は, 0<t<1の範囲において
t=1/2で最小値 12
をとる。
(x+α)x-a(x-1)=0
よって x = -a, a, 1
0<a<1から
-a<a<l
-a
O a
すなわち
したがって, 曲線
y=xx”と直線
y=ax-1) は、 右の図
のように異なる3点で
交わる。
499 放物線と直線の交点のx座標は, 方程式
x2+2x-4=mx
x2-(m-2)x-4=0
の実数解である。
方程式 ①の判別式をDとすると
......①
D=(m-22-4.1・(-4) y=x2+2x4ty
=(m-2)2+16>0
a
この曲線と直線で囲まれた2つの部分の面積が
等しくなるためには
よって, 方程式 ① は異な
る2つの実数解をもつ。
O
S"((x³-x)-a²(x-1)dx
=Sola(x-1)(x-2)}dx
すなわち Sax-1)}dx
-Sla(x-1)(x_x)dx=0
その実数解をα,β(a<β)
とすると
/y=mx
S=S(mx-(x2+2x-4)}dx
=-f(xa)(x-B)dx=1/2 (B-α)3
また,
よって
S' (x³-x²-a²x+a²)dx=0
B-α=m-2+√D
m-2-√D
=√D
2
2
左辺の積分を計算すると
であるから
x4
x3
2
as
左辺 =
x2.
+a²x
4 3
2
-a
4
2
a2
1
3
+
-a +
S=1/2(VD)=1/2(m-2)'16 }"
したがって, Sはm=2で最小となる。
4
3
2
12
a
2
a2
1
そのときの面積Sは
(√16)³-32
ゆえに
+
a3.
+
=0
4 3
2 12
すなわち 3a+8a3+6a2-1=0
500 曲線
y=x2-
因数定理を用いて左辺を因数分解すると
y=x-a2 (0≦x≦1)
(a+1)3(3a-1)=0
1
0<a<1から
a=
とx軸の交点のx座標は,
方程式
□内のとき
x2-a2=0
O
498 y=x2 について
y'=2x
よって, 点Pにおける
x=a
を0≦x≦1の範囲で解い
て
接線の方程式は
y-t2=2t(x-t)
すなわち y=2tx-t2
P
t
1
X
よって、 2つの部分の面積の和S(α) は
S(a)=S(x+a)dx+S'(^o^)dx
ゆえに
S(t) =
=S{ー(2txt2)dx=
X
-tx²+t²x
3
1\2
=12.
t-
+
12
* So {(24x-7) - 8³) dx\
よって
3
+a
7
2
at
= √3a²³-a² + 1/13
+
[
S'(a)=4a2-2a=2a(2a-1)

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

mo1

参考・概略です

＞黒四角で囲った式の場合は考えなくて良いのは、
＞明らかに、面積が大きくなってしまうからですか？

　解説の式の意味は、
　　0から1で、「放物線以下」で「接線以上」の面積を…
　　ということで、　問題の値を求める式となっています

　黒四角で囲った式の意味は、
　　0から1で、「接線以下」で「放物線以上」というあり得ない部分の面積…
　　となってしまいます。もともと無い部分なので考えないという事です