Question

てぃあ

この問題はどのように考えて解いていけばいいんですか？

OAOBOC をみたす四面体 OABCの点Oから, ABC
を含む平面に下ろした垂線の足をHとする.このとき 次の問い
に答えよ。
(1) Hは △ABCの外心であることを示せ.
(2) OA=OBOC=9, AB=6, BC=8, CA=10 のとき
OH の長さと四面体 OABCの体積Vを求めよ.
精講
(1) 平面外の点から平面に垂線を下ろすと,
その直線は平面上のすべての直線と垂直で
す.
また,Hが△ABCの外心とすると
HA=HB=HC が成りたちます.
これを手がかりに考えます.
(2)△ABCはふつうの三角形ではありません. 直角三
A
H
角形です. (1) によれば,Hは△ABCの外心ですから,
斜辺の中点が外心になります.
直角三角形がたくさんあるので,三平方の定理か三
角比の利用を考えます ( 63 注).
C
A
・外心
解答
(1)△OAH, △OBH, △OCH において,
∠OHA = ∠OHB=∠OHC=90°
次に,条件より, OA=OBOC
また, OHは共通.
直角三角形において,
A
斜辺と他の1辺がそれぞれ等しいので
△OAH =△OBH=△OCH
対応する辺の長さは等しいので, HA=HB=HC
よって, Hは△ABC の外心である.
B

(2) AB2+BC"=36+64=100
CA2=100
AB2+BC2=CA2 だから,
△ABC は CA を斜辺とする直角三角形.
(1)より, Hは △ABC の外心だから,
Hは斜辺 CA の中点に一致する。
よって, OH=√92-52=2√14
また, △ABC=m・6・8=24
△ABC=1/26
9
6
9
A
H
6
C
8
B
9
..
v=1/3△
△ABC・OH=16/14
A
5 H

図形の性質 数ⅰ 数a