Question

ayaya

(2)の解答にあるaはどこから来たのか教えて欲しいです!!
あと、剰余たの定理でこのページのポイントにある
「f(x)をg(x)h(x)でわったときのあまりをR(x)とする」剰余の定理のどういう時に使えるか教えて欲しいです！

第2章
基礎問
44 第2章 複素数と万住式
26 剰余の定理 (III)
1/2
(1) 整式P(x) をæ-1, x-2, x-3でわったときの余りが、そ
れぞれ6, 14, 26 であるとき,P(x) を (x-1)(x-2) (x-3)で
わったときの余りを求めよ.
(2) 整式P(x) を (x-1) でわると, 2x-1余り, x-2でわると
5余るとき,P(z) を (x-1)(x-2)でわった余りを求めよ。
精講
(1)
25 で考えたように、余りはax2+bx+cとおけます。 あとに
a, b, c に関する連立方程式を作れば終わりです。
しかし、3文字の連立方程式は解くのがそれなりにたいへんです
そこで,25の考え方を利用すると負担が軽くなります。
(2)余りをax+bx+c とおいてもP (1) P(2) しかないので, 未知数 3つ
等式2つの形になり, 答はでてきません.
解答
(1) 求める余りは ax2+bx+c とおけるので,
128
-2a-2b+26=6
-24-6+26=14
[a+6-10=0
l2a+b-12=0
.. a=2,b=8
よって, R(x)=(2x+8)(x-3)+26
=2x2+2x+2
45
S
(
注 (別解)のポイントの部分は,P(3)=R(3) となることからもわ
かります.
(2) P(x) を (x-1)(x-2) でわった余りをR(x) (2次以下の整式) と
おくと,P(x) = (x-1)(x-2)Q(x) +R(z) と表せる.
ところが,P(x) は (x-1)2でわると2-1余るので,R(x) も
(x-1)2でわると2x-1余る.
よって, R(x)=a(x-1)2+2x-1 とおける.
.. P(x)=(x-1)(x-2)Q(x)+α(x-1)'+2x-1
P(2) =5 だから, α+3=5
a=2
よって、 求める余りは, 2(x-1)'+2x-1
すなわち, 2x²-2x+1
次式でわった余り
P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)Q(x)+ax²+bx+c は2次以下
と表せる.
P(1)=6,P(2)=14,P(3) = 26 だから,
[a+b+c=6
4a+26+c=14
･･･①
....2
連立方程式を作る
ポイント f(x)をg(x)h(x)でわったときの余りをR(z) とす
ると
f(x)をg(x)でわった余りと
R(x)をg(r)でわった余りは等しい。
(h(x) についても同様のことがいえる)
9a+3b+c=26 ......

剰余の定理

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

そる

剰余の定理は多項式の割り算のあまりを求めたいときに有効な方法になります。

多項式だと考えにくいかも知れませんが具体例として3で割ると1余る数と言われたらどうでしょうか。

3×〇=商 余り1
↓
商=3×〇+1

このように3で割った時に1余る数というのは3の定数倍+1という風に式で表すことが出来ます。

同様に、(x-1)^2で割ると2x-1余る数というのは、式で表すと

(x-1)^2×〇=商 余り2x-1
↓
商=(x-1)^2×〇+(2x-1)

になります。ゆえに(x-1)^2の定数倍+2x-1という形で表せるのです。このテキストでは、aを実数として、その定数倍の部分を表しています。

ayaya

ありがとうございます!!