Question

みえ

高二数学、等式、不等式の証明です。
1つ目の写真の赤線の部分、(2)の答えが2つ目の写真の赤で囲っているところです。
2個目の写真の←部分で、３個目の写真のようにもう０以上としては❌でしょうか？
教えてください🙇‍♀️

□ 49 次の不等式を証明せよ。 また, 等号が成り立つときを調べよ。
(1)(x+y4)(x2y2)≧(x+y3)2 *(2) x4+y^≧xy+xy3
(3)x2+y2≧2(x+y-1)
*(4)
a+b2+c2
3
c² = ( a + b + c ) ²
3

(3) a+b>
0,
a+b
>0であるから,相加平均と
相乗平均の大小関係により
1
1
a+b+.
22(a+b)..
=2
a+b
a+b
1
よって
a+b+- -22
a+b
等号が成り立つのは,
mxyXx-yl)
=(x-yl(x-3)(x2+xy+y^)}
=(x-3)(x+xy+y^)
(x-(x+2)+20
よって
x+y^2xy+xya
a>0, b>0 a+b=
等号が成り立つのは, x=yのときである。
a+b'
(3)(x+y^2(x+y-1)
すなわち a+b=1のときである。
=x²-2x+y2-2y+2
47指針
2つのA,Bの大小は A-Bの符号で調べ
る。 本間では, A-B を因数分解して各因数
の符号を調べる。
2つの因数X,Yについて
XとYが同符号 XY > 0
=x2-2x+1+y2-2y+1
=(x-1)^2+(y-12≥0
よって
x2+y^2(x+y-1)
等号が成り立つのは, x-1=0 かつ y-1=0,
すなわち x=y=1のときである。
a²+b²+c²
(4)
3
= (a + b + c )²
XとYが異符号 XY < 0
302+62+c2)
9
(ab+cd)-(ac+bd)= ab+ cd-ac-bd
=a(b-c)-d(b-c)
=(a-d) b-c)
abcd より a-d>0b-c>0である
から
よって
目
したがって
(a-db-c)>0
(ab+cd) - (ac+bd) > 0
ab+cd>ac+bd
48 (xy-3)-(3y-x)=xy+x-3y-3
=x(y+1)-3(y+1)
=(x-3)(y+1)
x3,y>-1より, x-30, y+1>0である
から
よって
(x-3)(x+1)>0
(xy-3)-(3y-x)>0
したがって xy-3>3y-x
49 (1) (x+y)(x²+ y²)-(x³ + y³)²
=x+xy+x2y+y-x-2xy-y
=x2y2(x2+y2-2xy)
a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca
9
=1/2 (2a2+262+2c2−2ab-2bc-2ca)
=1/2(2-2ab+62+62-2bc+c2
+c2_2ca+α2)
=((a - b)²+(b-c)²+(c-a)≥0
a+b+cz (a+b+c)
よって
3
等号が成り立つのは,
3
a-b=0 かつ b-c=0 かつc-a=0,
すなわち a=b=cのときである。
50 両辺の平方の差を考えると
2ab
a+b
(√ab)2- (24)²=
4a262
=ab-.
(a+b)2
ab(a+b)2-44262
(a+b)2
ab{(a+b)2-4ab}
(a+b)2
=x2y2(x)20
よって (x+y)(x²+ y²)2(x³ + y³)²
等号が成り立つのは, xy=0 またはx-y=0,
すなわち x=0 または y=0 またはx=y
のときである。
(2) (x+y)-(x³y+xy³)
=x-x³y-xy³+y
=(x-y)x³-(x-y)y³
ab(a-b)2
-≥0
(a+b)2
よって
(√ab)²≥
2ab
a+b)
ab>0,
2ab
a+b
>0であるから

=(x-ylx3-y3)
=(x-y){(x-1)(x2+xy+y2)}
=(x-y)2(x2+xy+y≧0
111-112 (1452) + 1/12/20
よって
x+y^≧xy+xy3
等号が成り立つのは,x=yのときである。

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

かき

この段階で0以上とするのはダメですね。
xyがマイナスの場合、x²+xy+y²のままでは0以上かどうかわからないからです。

みえ

わかりました、ありがとうございます！

かき

頑張ってくださいね😊