Question

みみ

媒介変数表示の曲線についてお伺いしたいです。私は第2象限にQを置いて計算したのですが、解説では第一象限になっていて計算が合わなくなってしまいました。なぜ第一象限に置いているのか分からないので教えて頂きたいです。

媒介変数表示曲線 ||
16 座標平面上において,点Pと点 Qは時刻 0からまで 次の条
件にしたがって動く。
を時計回りに動く. ただし, 時刻 t でPは∠POA=t (0
点Pは点A(-1, 0) を出発し, 原点Oを中心とする半径1の円周上
をみたす. 点Pを通り x 軸に垂直な直線が直線y = -1 と交わる点
Hとする. 点QはPの回りを反時計回りに
PQ=t (0≦) および ∠HPQ=t (Ot≦)
をみたすように動く時刻におけるQの位置をBとする. 次の問
いに答えよ.
(1)時刻 t におけるQの座標を (x, y) とする. xとy を で表し、
ytについて単調に増加することを示せ.
(2)時刻
と
jn (j+1)π
6
6
に整数 j を定めよ.
の間でQの x 座標が最大値をとるよう
(3)点Aを通りy軸に平行な直線,点Bを通り x 軸に平行な直線,
および Qの軌跡で囲まれた部分の面積Sを求めよ.
〔大阪大〕

(2) di
I のとき,
(ii)
2
であり, tant +
2
4π
+
tan
6
5丁
+
tan
6
は 1-2 1-2
1. は増加で
dx=2sint+1costについて
πT
10 のとき, sint > 0, cost 0 だから,
2
dx
=2cost (lant+1/21)
101
dt
>0
dt
において Cost < 0
1 4π
.
.
4656
=√3+ <0
3
5π
+
3
12
5-4√3
12
>0
O
5π
4匹 <t <
で
a
6
dt
=0となる
だから,
OQ= OP + PQ
のように, 運動を分解します. それぞれの OP と PQ は大きさ一定ですか
ら, あとは回転角を求めます OP は OA 方向 (偏角π) から回転し、
たPQはP (偏角一号)から1回転しています。なお、ペクト
クトルのなすれ
や偏角を考えるときは, 始点をそろえてはかることに注意してください。
(口) 曲線についての面積を積分で表すとき, 普通は縦に
d
みて ydx としますが, 横にみて
xdy とした方
がよいこともあります. どちらをとるかは, 曲線の様子
によります.x の方からみて単調なら縦にみる, y の方
からみて単調なら横にみる, のが普通です. また,どち
らも単調なら計算しやすい方をとります.なお,これら
2つの積分の関係は, 右図のようなときは,図から
YA
d
b
Lydx + 1"x
xdy=bd-ac
となります.
解答
(1) OPは大きさ1で偏角 T-t, PQは大き
π
さで偏角 - +t だから,
2
OP = (cos(π - t), sin(T-1))
-
=(-cost, sint)
P=1(cos(1/+1).sin(1/2+1))
= (tsint, -t cost)
A
a
に
0
y
YA
P
-Q
HOW
0
ここで,
Q
=
S=
[Jo]
A
↑
←
↑
JC
1
πT
K B
{x-(-1)}dy = S
0
xdy+π
になる. C は≦) の関数xのグラフとして表せるので、
6
がただ1つ存在し, それを とおくと, 右表
のようになり, t = h で x は最大値をとる. ゆ
求めるはj = 4
t
0
dx
dt
+ 0
x
(3)(1),(2)からQの軌跡を C とすると, 考える部分は下図の斜線部のよう
t 0
-1
←
t1
B
=
平
0
H
したがって,OQ=OP+PQ から
x=-cost+tsint, y=sint-tcost
(08200) = 0
であり, 0<t <πで
dy = cost-
(cost -t sint) =t sint >>
dt
だから,y は 0≦t≦πで単調に増加する.
☐
T
S" x dy = √" x 4 dt = ["
10
(-cost+tsint)t sint dt
-t sin 2t + 12.1 - cos 2t
+12.1-cos 21) dt
= {1-(1
(t sin2t + 12 cos2t)} dt
3
2t =
6
= [13-112 sin 21]
だから,
TC
+A

116
a
t
大
大
L
x
A(-10)
(1)
H
y=-T
OP = {COS (π-*). Sin (π-A)}
OP = (-cost. Sm+)
3F
PQ = { + cos( 31 - *)
=
* cos(3 - *), Sin (-)
{- Sin (*)
-sm(+) }
"