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高中
なぜ図1のような図が出てきたのかわからないです。半径1の球が三角形の円周上を回るのに半球の図が出てきたのが何故なのか教えて頂きたいです。
問題を
空間内に1辺の長さが4の正三角形があり,半径1の球の中心が
この三角形の周上を一周するとき,この球が通過する部分の体積を求
動かす」とい
めよ.
[横浜国立大〕
《解答》 正三角形を含む平面に垂直で,この平面が x = 0 となるよう
にx軸を定める. 平面 x = t (−1 ≦t≦1) による球の切り口は、半径
√1-12 (=r)の円である(図1).題意の立体 D のxによる切り口 D
は、半径rの円の中心が平面x=t内で一辺の長さが4の正三角形の辺上を
一周する (図2) ときの円の通過領域に等しい (図3). これを扇形3個,長方
形3個、正三角形から内側の正三角形を除いた部分に分割する ここで1辺
の長さが4の正三角形の内接円の半径R は, 面積に注目すると
1.42 sin 60°
=
2
2
11.R.(4+4+4)
:: R =
2√3
3
2
の正三角形との相似比は (R-r): Rであり,面積は(R-F) 3 倍になる。
よって、図4の斜線部の面積は
図4の内側の正三角形の内接円の半径は R-rになるので, 1辺の長さが4
•
1 .42 sin 60° {1 - (R=r)²)} = 12r - 3√31
12r-3√3r2
2
だから、切り口 D の面積は
r2m +4.r×3 +12r - 3√3r2 = 24+ (π-3√3) 2
= 24√1-12 + (π-3√3)(1-12)
したがって、求める体積は
dt
2/" (24√1-12 + (x-3√3×1-1³) 41
=
= 48.77 +2(−3√3). 1/1
4
407-4√3
〔第1項の積分は半径1の四分円の面積
です
128
20
VI-12
AX
1
図1
t
(-)
(1)
r
図2
図3
A:-R
図 4
4
×3
14
x
27
解答
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最終的な図形は回答者さんが書いてくださった下の形になるということですか...?