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A 正弦・余弦の加法定理
次の等式が成り立つことを証明しよう。
cos(a+β)=cosacos β-sina sin β
【証明】 右の図のように, 動径OP と x軸
YA
10
の正の向きとのなす角を α+β とする。
A,Pの座標はそれぞれ
>
A(1, 0), P (cos (a+β), sin (a+β))
である。 2点間の距離の公式により
-1
0
AP2={cos(a+β)-1}2+sin' (a+β1
18
=2-2cos(a+β)
15 次に, 2点A,Pを, 原点Oを中心に
-αだけ回転した位置にある点を,それ
ぞれ Q, R とすると, Q, R の座標は
Q(cosa, -sina), R(cosβ, sin β)
である。 2点間の距離の公式により
YA
01 RM
B
-1
0
20
X
10
-α
x
QR2=(cosβ-cosa)+(sinβ+sina)
=2-2(cosacos β-sina sinβ)
AP = QR より AP2=QR2 であるから
-15
2-2cos (a+β)=2-2(cosa cosβ-sin a sinβ)
よって
cos(a+β)=cosacos βsinasin β
終
助かりました🙇🏻♀️！ありがとうございます！