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把第一個 (x+y)⁸ 展開成
C⁸₀x⁰y⁸ + C⁸₁x¹y⁷ + C⁸₂x²y⁶ + C⁸₃x³y⁵ + ⋯ + C⁸₈x⁸y⁰
再把第二個 (x+y)⁸ 展開成
C⁸₀x⁸y⁰ + C⁸₁x⁷y¹ + C⁸₂x⁶y² + C⁸₃x⁵y³ + ⋯ + C⁸₈x⁰y⁸
相乘、展開之後,x⁸y⁸項的係數正好就是
(C⁸₀)²+(C⁸₁)²+(C⁸₂)²+(C⁸₃)²+⋯+(C⁸₈)²

對照右式,x⁸y⁸項的係數是 C¹⁶₈
所以 (C⁸₁)²+(C⁸₂)²+(C⁸₃)²+⋯+(C⁸₇)² = C¹⁶₈ - (C⁸₀)² - (C⁸₈)²
= C¹⁶₈ - 2

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